$a$が正の数であるとき、不等式 $\frac{a}{4} + \frac{9}{a} \geq 3$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める。

1. 問題の内容

$a$が正の数であるとき、不等式 $\frac{a}{4} + \frac{9}{a} \geq 3$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める。

2. 解き方の手順

相加平均・相乗平均の不等式を利用する。$a > 0$ より、$\frac{a}{4} > 0$ および $\frac{9}{a} > 0$ である。

相加平均・相乗平均の不等式より、

$\frac{a}{4} + \frac{9}{a} \geq 2 \sqrt{\frac{a}{4} \cdot \frac{9}{a}}$

$\frac{a}{4} + \frac{9}{a} \geq 2 \sqrt{\frac{9}{4}}$

$\frac{a}{4} + \frac{9}{a} \geq 2 \cdot \frac{3}{2}$

$\frac{a}{4} + \frac{9}{a} \geq 3$

したがって、不等式 $\frac{a}{4} + \frac{9}{a} \geq 3$ が証明された。

等号が成り立つのは、相加平均・相乗平均の不等式において $\frac{a}{4} = \frac{9}{a}$ が成り立つときである。

すなわち、

$\frac{a}{4} = \frac{9}{a}$

$a^2 = 36$

$a = \pm 6$

$a$は正の数なので、$a = 6$ のとき等号が成り立つ。

3. 最終的な答え

不等式 $\frac{a}{4} + \frac{9}{a} \geq 3$ が成り立つ。

等号が成り立つのは $a = 6$ のとき。