問題は、次の2つの式を展開することです。 (1) $(a-b+c)^2$ (2) $(2x-y-2z)^2$

1. 問題の内容

問題は、次の2つの式を展開することです。

(1) $(a-b+c)^2$

(2) $(2x-y-2z)^2$

2. 解き方の手順

(1) $(a-b+c)^2$ の展開

$(a-b+c)^2 = (a+(-b)+c)^2$ と考えます。

$(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$ の公式を利用します。

$x=a, y=-b, z=c$ を代入すると、

$(a-b+c)^2 = a^2 + (-b)^2 + c^2 + 2(a)(-b) + 2(-b)(c) + 2(c)(a)$

$= a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc + 2ca$

(2) $(2x-y-2z)^2$ の展開

$(2x-y-2z)^2 = (2x+(-y)+(-2z))^2$ と考えます。

$(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$ の公式を利用します。

$x=2x, y=-y, z=-2z$ を代入すると、

$(2x-y-2z)^2 = (2x)^2 + (-y)^2 + (-2z)^2 + 2(2x)(-y) + 2(-y)(-2z) + 2(-2z)(2x)$

$= 4x^2 + y^2 + 4z^2 - 4xy + 4yz - 8zx$

3. 最終的な答え

(1) $(a-b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc + 2ca$

(2) $(2x-y-2z)^2 = 4x^2 + y^2 + 4z^2 - 4xy + 4yz - 8zx$