等比数列の和を求める問題です。今回は、(2)の数列 $320, -160, 80, -40, 20, -10, 5$ の和 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

等比数列の和を求める問題です。今回は、(2)の数列 $320, -160, 80, -40, 20, -10, 5$ の和 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

等比数列の和の公式を使います。等比数列の初項を $a$、公比を $r$、項数を $n$ とすると、和 $S$ は以下の式で表されます。

$S = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

この数列の初項 $a$ は $320$ です。

公比 $r$ は、隣り合う項の比を取ることで求められます。例えば、$-160 / 320 = -1/2$ より、$r = -1/2$ です。

項数 $n$ は $7$ です。

これらの値を公式に代入します。

$S = \frac{320(1 - (-\frac{1}{2})^7)}{1 - (-\frac{1}{2})}$

$S = \frac{320(1 - (-\frac{1}{128}))}{1 + \frac{1}{2}}$

$S = \frac{320(1 + \frac{1}{128})}{\frac{3}{2}}$

$S = \frac{320(\frac{129}{128})}{\frac{3}{2}}$

$S = 320 \times \frac{129}{128} \times \frac{2}{3}$

$S = \frac{320 \times 129 \times 2}{128 \times 3}$

$S = \frac{82560}{384}$

$S = \frac{860}{4} \times \frac{129}{3} = \frac{215}{1} \times \frac{43}{1}$

$S = \frac{160 \times 129}{64 \times 3} \times \frac{128}{64}= 16 \times \frac{129}{4}$

$S = \frac{320(1+\frac{1}{128})}{3/2}$

$S = 320 \cdot \frac{129}{128} \cdot \frac{2}{3} = \frac{320}{1} \cdot \frac{129}{128} \cdot \frac{2}{3} = \frac{82560}{384}$

$S = \frac{320 \cdot \frac{129}{128}}{\frac{3}{2}} = \frac{320}{1} \times \frac{129}{128} \times \frac{2}{3} = \frac{80}{1} \times \frac{129}{32} \times \frac{2}{3} = \frac{5}{1} \times \frac{129}{2} \times \frac{1}{3}= \frac{5}{1} \times \frac{43}{2} = \frac{215}{2} = 107.5$

3. 最終的な答え

$\frac{215}{2}$