次の4つの問題について、方程式または不等式を解く。 (1) $3^{3x+2} = 9^{2x-1}$ (2) $\frac{1}{4^x} \geq \frac{5}{2^x} - 4$ (3) $\log_3(x-4) - \log_9(2x+7) = 0$ (4) $2\log_{\frac{1}{3}}x - 1 > \log_{\frac{1}{3}}(x+2)$

1. 問題の内容

次の4つの問題について、方程式または不等式を解く。

(1) $3^{3x+2} = 9^{2x-1}$

(2) $\frac{1}{4^x} \geq \frac{5}{2^x} - 4$

(3) $\log_3(x-4) - \log_9(2x+7) = 0$

(4) $2\log_{\frac{1}{3}}x - 1 > \log_{\frac{1}{3}}(x+2)$

2. 解き方の手順

(1)

$3^{3x+2} = 9^{2x-1}$

$3^{3x+2} = (3^2)^{2x-1}$

$3^{3x+2} = 3^{4x-2}$

指数部分を比較する。

$3x+2 = 4x-2$

$4x - 3x = 2 + 2$

$x = 4$

(2)

$\frac{1}{4^x} \geq \frac{5}{2^x} - 4$

$\frac{1}{(2^2)^x} \geq \frac{5}{2^x} - 4$

$\frac{1}{(2^x)^2} \geq \frac{5}{2^x} - 4$

$t = 2^x$とおく ($t > 0$)

$\frac{1}{t^2} \geq \frac{5}{t} - 4$

$1 \geq 5t - 4t^2$

$4t^2 - 5t + 1 \geq 0$

$(4t - 1)(t - 1) \geq 0$

$t \leq \frac{1}{4}$ または $t \geq 1$

$2^x \leq \frac{1}{4}$ または $2^x \geq 1$

$2^x \leq 2^{-2}$ または $2^x \geq 2^0$

$x \leq -2$ または $x \geq 0$

(3)

$\log_3(x-4) - \log_9(2x+7) = 0$

$\log_3(x-4) = \log_9(2x+7)$

$\log_3(x-4) = \frac{\log_3(2x+7)}{\log_3(9)}$

$\log_3(x-4) = \frac{\log_3(2x+7)}{2}$

$2\log_3(x-4) = \log_3(2x+7)$

$\log_3(x-4)^2 = \log_3(2x+7)$

$(x-4)^2 = 2x+7$

$x^2 - 8x + 16 = 2x + 7$

$x^2 - 10x + 9 = 0$

$(x-1)(x-9) = 0$

$x = 1$ または $x = 9$

真数条件: $x-4 > 0$ かつ $2x+7 > 0$を満たす必要があるので、 $x > 4$。

したがって、$x = 9$のみが解。

(4)

$2\log_{\frac{1}{3}}x - 1 > \log_{\frac{1}{3}}(x+2)$

$\log_{\frac{1}{3}}x^2 - \log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{3} > \log_{\frac{1}{3}}(x+2)$

$\log_{\frac{1}{3}}(3x^2) > \log_{\frac{1}{3}}(x+2)$

$3x^2 < x+2$

$3x^2 - x - 2 < 0$

$(3x+2)(x-1) < 0$

$-\frac{2}{3} < x < 1$

真数条件: $x > 0$ かつ $x+2 > 0$を満たす必要があるので、$x > 0$。

したがって、$0 < x < 1$。

3. 最終的な答え

(1) $x=4$

(2) $x \leq -2$ または $x \geq 0$

(3) $x=9$

(4) $0 < x < 1$