$a, b$ を定数とし、実数 $x$ に関する2つの条件 $p, q$ が以下のように与えられています。 $p: |x-2| \leq 2$ $q: ax + b > 0$ 条件 $p, q$ の否定をそれぞれ $\overline{p}, \overline{q}$ で表します。 (1) 不等式 $|x-2| \leq 2$ の解を求めます。 (2) 次の(i), (ii)において、$p$ は $q$ であるための何であるかを答えます。 (i) $a=1, b=2$ とする。$p$ は $q$ であるための**サ**。$\overline{p}$ は $\overline{q}$ であるための**シ**。 (ii) $a=0, b=1$ とする。$p$ は $q$ であるための**ス**。 選択肢は以下から選びます。（画像には記載されていませんが、文脈から推測します。） 0: 必要十分条件 1: 必要条件 2: 十分条件 3: 必要条件でも十分条件でもない

1. 問題の内容

$a, b$ を定数とし、実数 $x$ に関する2つの条件 $p, q$ が以下のように与えられています。

$p: |x-2| \leq 2$

$q: ax + b > 0$

条件 $p, q$ の否定をそれぞれ $\overline{p}, \overline{q}$ で表します。

(1) 不等式 $|x-2| \leq 2$ の解を求めます。

(2) 次の(i), (ii)において、$p$ は $q$ であるための何であるかを答えます。

(i) $a=1, b=2$ とする。$p$ は $q$ であるための**サ**。$\overline{p}$ は $\overline{q}$ であるための**シ**。

(ii) $a=0, b=1$ とする。$p$ は $q$ であるための**ス**。

選択肢は以下から選びます。（画像には記載されていませんが、文脈から推測します。）

0: 必要十分条件

1: 必要条件

2: 十分条件

3: 必要条件でも十分条件でもない

2. 解き方の手順

(1)

$|x-2| \leq 2$ は $-2 \leq x-2 \leq 2$ と同値です。各辺に2を加えると、$0 \leq x \leq 4$ となります。

(2)

(i) $a=1, b=2$ のとき、$q$ は $x+2 > 0$ つまり $x > -2$ です。

$p: 0 \leq x \leq 4$

$q: x > -2$

$p$ ならば $q$ は真なので、$p$ は $q$ であるための十分条件です。

$\overline{p}: x < 0$ または $x > 4$

$\overline{q}: x \leq -2$

$\overline{p}$ ならば $\overline{q}$ は偽 ($x=5$ で反例)、$\overline{q}$ ならば $\overline{p}$ は真なので、$\overline{p}$ は $\overline{q}$ であるための必要条件です。

(ii) $a=0, b=1$ のとき、$q$ は $0x + 1 > 0$ つまり $1 > 0$ となり、常に真です。

$p: 0 \leq x \leq 4$

$q: 1 > 0$ (常に真)

$q$ は常に真なので、$p$ ならば $q$ は真です。また、$q$ ならば $p$ は偽です。($x = -1$ は $q$ を満たすが、$p$ を満たしません)

よって、$p$ は $q$ であるための十分条件です。

3. 最終的な答え

(1) ケ：0、コ：4

(2) サ：2、シ：1、ス：2