ある放物線を $y$ 軸に関して対称移動し、さらに $x$ 軸方向に $-2$、$y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動したら、放物線 $y = x^2 + 6x + 10$ に移った。元の放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

ある放物線を $y$ 軸に関して対称移動し、さらに $x$ 軸方向に $-2$、$y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動したら、放物線 $y = x^2 + 6x + 10$ に移った。元の放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = x^2 + 6x + 10$ を、与えられた移動の逆の順序で逆向きに移動させることで、元の放物線を求める。

(1) $y$軸方向に $1$ だけ平行移動したので、移動前の放物線の方程式は、

$y - 1 = x^2 + 6x + 10$

$y = x^2 + 6x + 11$

(2) $x$軸方向に $-2$ だけ平行移動したので、移動前の放物線の方程式は、$x$ を $x + 2$ に置き換えて、

$y = (x + 2)^2 + 6(x + 2) + 11$

$y = x^2 + 4x + 4 + 6x + 12 + 11$

$y = x^2 + 10x + 27$

(3) $y$軸に関して対称移動したので、$x$ を $-x$ に置き換えて、

$y = (-x)^2 + 10(-x) + 27$

$y = x^2 - 10x + 27$

3. 最終的な答え

$y = x^2 - 10x + 27$