次の式を展開せよ。 (1) $(2a+b)^2(2a-b)^2$ (2) $(x-2)(x+2)(x^2+4)$ (3) $(a^2-a+1)(a^2-a-1)$ (4) $(x+y-3z)(x-y+3z)$ (5) $(a^2-ab+2b^2)(a^2+ab+2b^2)$ (6) $(2a-5b-3)(2a-5b+2)$ (7) $(3x+3y-z)(x+y+z)$

はい、承知いたしました。画像にある7つの問題を解いていきます。

1. 問題の内容

次の式を展開せよ。

(1) $(2a+b)^2(2a-b)^2$

(2) $(x-2)(x+2)(x^2+4)$

(3) $(a^2-a+1)(a^2-a-1)$

(4) $(x+y-3z)(x-y+3z)$

(5) $(a^2-ab+2b^2)(a^2+ab+2b^2)$

(6) $(2a-5b-3)(2a-5b+2)$

(7) $(3x+3y-z)(x+y+z)$

2. 解き方の手順

(1) $(2a+b)^2(2a-b)^2$

まず、$(2a+b)^2$と$(2a-b)^2$を展開します。

$(2a+b)^2 = (2a)^2 + 2(2a)(b) + b^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$

$(2a-b)^2 = (2a)^2 - 2(2a)(b) + b^2 = 4a^2 - 4ab + b^2$

したがって、

$(2a+b)^2(2a-b)^2 = (4a^2 + 4ab + b^2)(4a^2 - 4ab + b^2)$

$A = 4a^2 + b^2$と置くと、

$(A + 4ab)(A - 4ab) = A^2 - (4ab)^2 = (4a^2 + b^2)^2 - 16a^2b^2$

$= (4a^2)^2 + 2(4a^2)(b^2) + (b^2)^2 - 16a^2b^2 = 16a^4 + 8a^2b^2 + b^4 - 16a^2b^2 = 16a^4 - 8a^2b^2 + b^4$

(2) $(x-2)(x+2)(x^2+4)$

まず、$(x-2)(x+2)$を計算します。

$(x-2)(x+2) = x^2 - 4$

したがって、

$(x-2)(x+2)(x^2+4) = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x^2)^2 - 4^2 = x^4 - 16$

(3) $(a^2-a+1)(a^2-a-1)$

$A = a^2 - a$と置くと、

$(A+1)(A-1) = A^2 - 1$

$(a^2 - a)^2 - 1 = (a^4 - 2a^3 + a^2) - 1 = a^4 - 2a^3 + a^2 - 1$

(4) $(x+y-3z)(x-y+3z)$

$A = x$ , $B = y-3z$と置くと、

$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2 = x^2 - (y-3z)^2$

$= x^2 - (y^2 - 6yz + 9z^2) = x^2 - y^2 + 6yz - 9z^2$

(5) $(a^2-ab+2b^2)(a^2+ab+2b^2)$

$A = a^2+2b^2$と置くと、

$(A-ab)(A+ab) = A^2 - (ab)^2 = (a^2+2b^2)^2 - a^2b^2$

$= a^4 + 4a^2b^2 + 4b^4 - a^2b^2 = a^4 + 3a^2b^2 + 4b^4$

(6) $(2a-5b-3)(2a-5b+2)$

$A = 2a-5b$と置くと、

$(A-3)(A+2) = A^2 - A - 6 = (2a-5b)^2 - (2a-5b) - 6$

$= 4a^2 - 20ab + 25b^2 - 2a + 5b - 6$

(7) $(3x+3y-z)(x+y+z)$

$(3x+3y-z)(x+y+z) = 3x(x+y+z) + 3y(x+y+z) - z(x+y+z)$

$= 3x^2 + 3xy + 3xz + 3xy + 3y^2 + 3yz - xz - yz - z^2$

$= 3x^2 + 3y^2 + 6xy + 2xz + 2yz - z^2$

3. 最終的な答え

(1) $16a^4 - 8a^2b^2 + b^4$

(2) $x^4 - 16$

(3) $a^4 - 2a^3 + a^2 - 1$

(4) $x^2 - y^2 + 6yz - 9z^2$

(5) $a^4 + 3a^2b^2 + 4b^4$

(6) $4a^2 - 20ab + 25b^2 - 2a + 5b - 6$

(7) $3x^2 + 3y^2 + 6xy + 2xz + 2yz - z^2$