関数 $y = x^2 + 2x - 1$ の $-2 \leq x \leq 1$ における最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 + 2x - 1$ の $-2 \leq x \leq 1$ における最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = x^2 + 2x - 1 = (x^2 + 2x + 1) - 1 - 1 = (x+1)^2 - 2$

したがって、この二次関数の頂点の座標は $(-1, -2)$ です。また、$x^2$の係数が正であるため、このグラフは下に凸の放物線です。

次に、定義域 $-2 \leq x \leq 1$ におけるグラフを考えます。

頂点の$x$座標 $-1$ は、定義域 $-2 \leq x \leq 1$ に含まれています。

したがって、$x = -1$のとき、最小値 $y = -2$ をとります。

次に、最大値を求めます。定義域の両端の値を関数に代入して比較します。

$x = -2$ のとき、$y = (-2)^2 + 2(-2) - 1 = 4 - 4 - 1 = -1$

$x = 1$ のとき、$y = (1)^2 + 2(1) - 1 = 1 + 2 - 1 = 2$

よって、定義域の端点における$y$の値は、$y=-1$と$y=2$なので、$x=1$のときに最大値をとります。

したがって、最大値は $2$ です。

3. 最終的な答え

最大値: $2$ ($x=1$のとき)

最小値: $-2$ ($x=-1$のとき)