ある放物線を、y軸に関して対称移動し、さらにx軸方向に-2、y軸方向に1だけ平行移動したところ、放物線 $y = x^2 + 6x + 10$ になった。もとの放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

ある放物線を、y軸に関して対称移動し、さらにx軸方向に-2、y軸方向に1だけ平行移動したところ、放物線 $y = x^2 + 6x + 10$ になった。もとの放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた放物線 $y = x^2 + 6x + 10$ を平方完成する。

$y = x^2 + 6x + 9 + 1$

$y = (x+3)^2 + 1$

次に、逆の操作を行う。

(1) x軸方向に-2、y軸方向に1だけ平行移動した結果が $y = (x+3)^2 + 1$ なので、平行移動する前の放物線は、x軸方向に+2、y軸方向に-1だけ平行移動すればよい。つまり、

$y + 1 = (x+2+3)^2 + 1$

$y = (x+5)^2$

(2) y軸に関して対称移動する前の放物線は、$x$ を $-x$ で置き換えればよい。

$y = (-x+5)^2 = (-(x-5))^2 = (x-5)^2$

したがって、もとの放物線は $y = (x-5)^2$ である。

展開すると、

$y = x^2 - 10x + 25$

3. 最終的な答え

$y = x^2 - 10x + 25$