$\sum_{k=1}^{n} (2k^2 - 3k)$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (2k^2 - 3k)$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、シグマの性質を用いて、和を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k^2 - 3k) = 2\sum_{k=1}^{n} k^2 - 3\sum_{k=1}^{n} k$

次に、$\sum_{k=1}^{n} k^2$ と $\sum_{k=1}^{n} k$ の公式を適用します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

これらの公式を代入すると、

$2\sum_{k=1}^{n} k^2 - 3\sum_{k=1}^{n} k = 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} - \frac{3n(n+1)}{2}$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1) - 9n(n+1)}{6}$

$= \frac{n(n+1)(2(2n+1) - 9)}{6}$

$= \frac{n(n+1)(4n+2-9)}{6}$

$= \frac{n(n+1)(4n-7)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(4n-7)}{6}$