(2) 第2項が24、第4項が6である等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。ただし、公比は正の数とする。 (5)(1) $\sum_{k=1}^{n}(k-2)$ を求めよ。

はい、承知いたしました。画像にある2つの問題について、それぞれ解説と解答を示します。

1. 問題の内容

(2) 第2項が24、第4項が6である等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。ただし、公比は正の数とする。

(5)(1) $\sum_{k=1}^{n}(k-2)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(2) 等比数列の一般項を求める問題

等比数列の一般項は $a_n = a r^{n-1}$ と表されます。ここで、$a$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項数です。

問題文より、第2項が24、第4項が6であることから、以下の2つの式が成り立ちます。

$a r = 24$

$a r^3 = 6$

これらの式から $a$ と $r$ を求めることができます。

$a r^3 = (a r) r^2$ より、

$6 = 24 r^2$

$r^2 = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$

公比は正の数なので、$r = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ となります。

$a r = 24$ に $r = \frac{1}{2}$ を代入すると、$a \cdot \frac{1}{2} = 24$ より、$a = 48$ となります。

したがって、一般項は $a_n = 48 (\frac{1}{2})^{n-1} = 48 \cdot 2^{1-n} = 3 \cdot 2^4 \cdot 2^{1-n} = 3 \cdot 2^{5-n}$ となります。

(5)(1) 和の公式を用いる問題

$\sum_{k=1}^{n}(k-2)$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n}(k-2) = \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 2$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 2 = 2n$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n}(k-2) = \frac{n(n+1)}{2} - 2n = \frac{n(n+1) - 4n}{2} = \frac{n(n+1-4)}{2} = \frac{n(n-3)}{2}$

3. 最終的な答え

(2) $a_n = 3 \cdot 2^{5-n}$

(5)(1) $\frac{n(n-3)}{2}$