(1) 第3項が5、第9項が8である等差数列 $\{a_n\}$ の一般項を求め、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。 (2) 第2項が24、第4項が6である等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。ただし、公比は正の数とする。

1. 問題の内容

(1) 第3項が5、第9項が8である等差数列 $\{a_n\}$ の一般項を求め、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。

(2) 第2項が24、第4項が6である等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。ただし、公比は正の数とする。

2. 解き方の手順

(1)

等差数列の一般項は $a_n = a + (n-1)d$ で表される。ここで、$a$ は初項、$d$ は公差である。

第3項が5なので、

$a_3 = a + 2d = 5$

第9項が8なので、

$a_9 = a + 8d = 8$

この2つの式を連立して $a$ と $d$ を求める。

2番目の式から1番目の式を引くと、

$6d = 3$

$d = \frac{1}{2}$

$d = \frac{1}{2}$ を $a + 2d = 5$ に代入すると、

$a + 2 \cdot \frac{1}{2} = 5$

$a + 1 = 5$

$a = 4$

したがって、一般項は

$a_n = 4 + (n-1) \cdot \frac{1}{2} = 4 + \frac{1}{2}n - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}n + \frac{7}{2}$

初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(4 + \frac{1}{2}n + \frac{7}{2}) = \frac{n}{2}(\frac{8}{2} + \frac{1}{2}n + \frac{7}{2}) = \frac{n}{2}(\frac{1}{2}n + \frac{15}{2}) = \frac{n}{4}(n + 15) = \frac{n^2 + 15n}{4}$

(2)

等比数列の一般項は $a_n = ar^{n-1}$ で表される。ここで、$a$ は初項、$r$ は公比である。

第2項が24なので、$a_2 = ar = 24$

第4項が6なので、$a_4 = ar^3 = 6$

この2つの式から $a$ と $r$ を求める。

$\frac{ar^3}{ar} = \frac{6}{24}$

$r^2 = \frac{1}{4}$

$r = \pm \frac{1}{2}$

ただし、公比は正の数なので、$r = \frac{1}{2}$

$a \cdot \frac{1}{2} = 24$

$a = 48$

したがって、一般項は $a_n = 48 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$

3. 最終的な答え

(1) 一般項: $a_n = \frac{1}{2}n + \frac{7}{2}$

和: $S_n = \frac{n^2 + 15n}{4}$

(2) 一般項: $a_n = 48 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$