与えられた数列の和 $S_n = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \cdots + n \cdot 3^{n-1}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S_n = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \cdots + n \cdot 3^{n-1}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$S_n$ を書き下します。

$S_n = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \cdots + n \cdot 3^{n-1}$

次に、$3S_n$ を計算します。

$3S_n = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \cdots + n \cdot 3^n$

$S_n$ から $3S_n$ を引きます。

$S_n - 3S_n = (1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \cdots + n \cdot 3^{n-1}) - (1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \cdots + n \cdot 3^n)$

$-2S_n = 1 + (2 \cdot 3 - 1 \cdot 3) + (3 \cdot 3^2 - 2 \cdot 3^2) + \cdots + (n \cdot 3^{n-1} - (n-1) \cdot 3^{n-1}) - n \cdot 3^n$

$-2S_n = 1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1} - n \cdot 3^n$

ここで、$1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1}$ は初項1、公比3、項数nの等比数列の和なので、

$1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1} = \frac{1(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3^n - 1}{2}$

したがって、

$-2S_n = \frac{3^n - 1}{2} - n \cdot 3^n$

$-2S_n = \frac{3^n - 1 - 2n \cdot 3^n}{2}$

$S_n = \frac{2n \cdot 3^n - 3^n + 1}{ -4}$

$S_n = \frac{-2n \cdot 3^n + 3^n - 1}{4}$

$S_n = \frac{(1 - 2n)3^n - 1}{4}$

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{(1-2n)3^n - 1}{4}$