与えられたベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ に対して、外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を計算する問題です。以下の3つの場合について計算します。 (1) $\vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$ (2) $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ (3) $\vec{a} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} -10 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられたベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ に対して、外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を計算する問題です。以下の3つの場合について計算します。

(1) $\vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$

(2) $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$

(3) $\vec{a} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} -10 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

外積の定義に従って計算を行います。$\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$ と $\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$ の外積は、

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}$

で計算できます。

(1) $\vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$ の場合：

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 6 \cdot 5 - 4 \cdot 2 \\ 4 \cdot (-1) - 0 \cdot 5 \\ 0 \cdot 2 - 6 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 30 - 8 \\ -4 - 0 \\ 0 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 22 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix}$

(2) $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ の場合：

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \cdot 0 - 1 \cdot (-2) \\ 1 \cdot 5 - 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot (-2) - 4 \cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 + 2 \\ 5 - 0 \\ -4 - 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -24 \end{pmatrix}$

(3) $\vec{a} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} -10 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ の場合：

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \cdot 4 - (-2) \cdot 2 \\ -2 \cdot (-10) - 5 \cdot 4 \\ 5 \cdot 2 - (-1) \cdot (-10) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 + 4 \\ 20 - 20 \\ 10 - 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 22 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix}$

(2) $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -24 \end{pmatrix}$

(3) $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$