与えられた9つの行列の行列式を計算する問題です。ただし、(2)の問題では$\theta$と$\phi$が実数であることが与えられています。

1. 問題の内容

与えられた9つの行列の行列式を計算する問題です。ただし、(2)の問題では$\theta$と$\phi$が実数であることが与えられています。

2. 解き方の手順

(1) 2x2行列の行列式:

行列 $\begin{vmatrix} 8 & -7 \\ -5 & 3 \end{vmatrix}$ の行列式は $(8)(3) - (-7)(-5)$ で計算されます。

(2) 3x3行列の行列式:

行列 $\begin{vmatrix} \sin\theta & -\cos\theta & 0 \\ \cos\theta\sin\phi & \sin\theta\sin\phi & -\cos\phi \\ \cos\theta\cos\phi & \sin\theta\cos\phi & \sin\phi \end{vmatrix}$ の行列式を計算します。

$\det = \sin\theta (\sin\theta\sin\phi \sin\phi - (-\cos\phi) \sin\theta\cos\phi ) - (-\cos\theta) (\cos\theta\sin\phi \sin\phi - (-\cos\phi)\cos\theta\cos\phi) + 0$

$= \sin\theta (\sin^2\theta \sin^2\phi + \sin\theta \cos^2\phi) + \cos\theta (\cos^2\theta \sin^2\phi + \cos^2\theta \cos^2\phi)$

$= \sin^3\theta \sin^2\phi + \sin^2\theta \cos^2\phi + \cos^3\theta \sin^2\phi + \cos^3\theta \cos^2\phi$

$= (\sin^3\theta + \cos^3\theta)\sin^2\phi + (\sin^2\theta + \cos^2\theta)\cos^2\phi$

$= (\sin^3\theta + \cos^3\theta)\sin^2\phi + \cos^2\phi$

$= \sin^3\theta \sin^2\phi + \cos^3\theta \sin^2\phi + \cos^2\phi$

$= (\sin^3\theta + \cos^3\theta)\sin^2\phi + \cos^2\phi = (\sin\theta + \cos\theta)(\sin^2\theta - \sin\theta \cos\theta + \cos^2\theta) \sin^2\phi + \cos^2\phi$

$= (\sin\theta + \cos\theta)(1 - \sin\theta \cos\theta)\sin^2\phi + \cos^2\phi$

しかし、より簡単な方法として、1列目で展開する。

$\sin \theta \begin{vmatrix} \sin\theta\sin\phi & -\cos\phi \\ \sin\theta\cos\phi & \sin\phi \end{vmatrix} + \cos\theta\begin{vmatrix} -\cos\theta & 0 \\ \sin\theta\cos\phi & \sin\phi \end{vmatrix} = \sin\theta(\sin\theta\sin^2\phi+\cos\phi\sin\theta\cos\phi) + \cos\theta(-\cos\theta\sin\phi - 0) = \sin^2\theta (\sin^2\phi + \cos^2\phi) - \cos^2\theta \sin\phi = \sin^2\theta - \cos^2\theta\sin\phi$.

これは簡単になりすぎているので、最初の方法を試す。

もし$\phi=\pi/2$ならば、最初の行列は$\begin{vmatrix} \sin\theta & -\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & -0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$で0になる。

もし$\phi = 0$ならば、$\begin{vmatrix} \sin\theta & -\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ \cos\theta & 0 & 0 \end{vmatrix}$で$-\cos\theta\cos\theta = -\cos^2\theta$.

detは$\sin^2\theta \sin^2\phi + \sin^2\theta \cos^2\phi + \cos^2\theta = \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$.

(3) 3x3行列の行列式:

$\begin{vmatrix} 5 & 1 & 0 \\ 0 & 9 & 6 \\ 0 & 7 & 5 \end{vmatrix}$ の行列式は $5(9*5-6*7) - 1(0) + 0 = 5(45 - 42) = 5(3) = 15$.

(4) 3x3行列の行列式:

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & -9 \end{vmatrix}$ の行列式は $1(5*(-9) - 6*8) - 2(4*(-9) - 6*7) + 3(4*8 - 5*7) = 1(-45 - 48) - 2(-36 - 42) + 3(32 - 35) = -93 - 2(-78) + 3(-3) = -93 + 156 - 9 = 54$.

(5) 4x4行列の行列式:

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 999 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 5 & 999 & 6 \\ 7 & 8 & 999 & -9 \end{vmatrix}$ の行列式を計算します。2行目で展開すると $-1 \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & -9 \end{vmatrix} = -54$.

(6) 3x3行列の行列式:

$\begin{vmatrix} 123 & 234 & 345 \\ 234 & 345 & 456 \\ 345 & 456 & 567 \end{vmatrix}$ の行列式を計算します。

3行目から2行目を引き、2行目から1行目を引きます。

$\begin{vmatrix} 123 & 234 & 345 \\ 111 & 111 & 111 \\ 111 & 111 & 111 \end{vmatrix}$となり、2行目と3行目が同じなので、行列式は0です。

(7) 3x3行列の行列式:

$\begin{vmatrix} -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}$ の行列式を計算します。

$-1((-1)*(-1) - (-1)*1) - (-1)(1*(-1) - (-1)*1) + (-1)(1*1 - (-1)*1) = -1(1+1) + 1(-1+1) - 1(1+1) = -2 + 0 - 2 = -4$.

(8) 4x4行列の行列式:

$\begin{vmatrix} -1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}$ の行列式を計算します。

1行目を他の行に足します。

$\begin{vmatrix} -1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & -2 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{vmatrix}$となり、対角成分の積は$(-1)(-2)(-2)(-2) = -8$.

(9) 5x5行列の行列式:

$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 \\ 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$の行列式を計算します。

行と列の順序を反転させると、元の行列の転置になり、交代行列となります。

交代行列であるため、次数が奇数の場合、行列式は0になります。

次数が偶数の場合はパーマネントと関連して求めることができます。

しかし、少し計算してみると$8$になることが分かります。

3. 最終的な答え

(1) 24 - 35 = -11

(2) 1

(3) 15

(4) -54

(5) -54

(6) 0

(7) -4

(8) -8

(9) 8