自然数の列が、第$n$群に$2^{n-1}$個の数が入るように群に分けられている。 (1) $n \ge 2$のとき、第$n$群の最初の数を$n$の式で表せ。 (2) 第$n$群に入るすべての数の和$S$を求めよ。

1. 問題の内容

自然数の列が、第$n$群に$2^{n-1}$個の数が入るように群に分けられている。

(1) $n \ge 2$のとき、第$n$群の最初の数を$n$の式で表せ。

(2) 第$n$群に入るすべての数の和$S$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 第$n$群の最初の数を求める。第$n$群の最初の数は、第$(n-1)$群までの項数に1を加えたものである。

まず、第$(n-1)$群までの項数を求める。第$k$群には$2^{k-1}$個の数が入っているので、第$(n-1)$群までの項数は、

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}$

これは初項1、公比2の等比数列の和なので、

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = \frac{1(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2^{n-1} - 1$

したがって、第$n$群の最初の数は、

$2^{n-1} - 1 + 1 = 2^{n-1}$

(2) 第$n$群に入るすべての数の和$S$を求める。第$n$群の最初の数は$2^{n-1}$であり、第$n$群には$2^{n-1}$個の数が入っている。したがって、第$n$群の最後の数は、$2^{n-1} + 2^{n-1} - 1 = 2^n - 1$となる。

第$n$群の数の和$S$は、初項$2^{n-1}$、末項$2^n - 1$、項数$2^{n-1}$の等差数列の和として計算できる。

$S = \frac{2^{n-1} (2^{n-1} + 2^n - 1)}{2} = 2^{n-2} (2^{n-1} + 2^n - 1) = 2^{n-2} (2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-1} - 1) = 2^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1} - 1)$

$S = 3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}$

3. 最終的な答え

(1) $2^{n-1}$

(2) $3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}$