初項が2、公比が3である等比数列 $\{a_n\}$ がある。初めて1000を超えるのは第何項か。

1. 問題の内容

初項が2、公比が3である等比数列 $\{a_n\}$ がある。初めて1000を超えるのは第何項か。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項は、$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ で表されます。ここで、$a_1$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項の番号です。

この問題では、$a_1 = 2$、$r = 3$ なので、$a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$ となります。

初めて1000を超える項を求めるには、$a_n > 1000$ を満たす最小の $n$ を見つければ良いです。

$2 \cdot 3^{n-1} > 1000$

$3^{n-1} > 500$

両辺の対数をとります。（底は何でも良いですが、ここでは常用対数 $\log_{10}$ をとります）

$(n-1) \log_{10} 3 > \log_{10} 500$

$(n-1) \log_{10} 3 > \log_{10} (5 \cdot 10^2)$

$(n-1) \log_{10} 3 > \log_{10} 5 + 2$

$\log_{10} 3 \approx 0.4771$、$\log_{10} 5 \approx 0.6990$ を用います。

$(n-1) \cdot 0.4771 > 0.6990 + 2$

$(n-1) \cdot 0.4771 > 2.6990$

$n-1 > \frac{2.6990}{0.4771}$

$n-1 > 5.657$

$n > 6.657$

$n$ は整数なので、$n$ の最小値は7です。

$a_6 = 2 \cdot 3^5 = 2 \cdot 243 = 486$

$a_7 = 2 \cdot 3^6 = 2 \cdot 729 = 1458$

3. 最終的な答え

第7項