4つの2次関数について、指定された定義域における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

4つの2次関数について、指定された定義域における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

各2次関数について、平方完成を行い、頂点の座標を求めます。その後、定義域の端点と頂点のx座標を比較し、最大値と最小値を判断します。定義域に注意し、端点が含まれる場合はその値を使用し、含まれない場合はその点での値が存在しないことを記述します。

(1) $y = x^2 - 3x + 1 (-2 \le x \le 1)$

平方完成します。

$y = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 1 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{5}{4}$

頂点の座標は$(\frac{3}{2}, -\frac{5}{4})$ですが、定義域に含まれていません。

$x = -2$のとき、$y = (-2)^2 - 3(-2) + 1 = 4 + 6 + 1 = 11$

$x = 1$のとき、$y = (1)^2 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$

したがって、最大値は11 ($x = -2$)、最小値は-1 ($x = 1$)です。

(2) $y = -x^2 - x + 3 (-2 < x \le 2)$

平方完成します。

$y = -(x^2 + x) + 3 = -(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} + 3 = -(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{13}{4}$

頂点の座標は$(-\frac{1}{2}, \frac{13}{4})$で、定義域に含まれます。

$x = -\frac{1}{2}$のとき、$y = \frac{13}{4}$

$x = 2$のとき、$y = -(2)^2 - 2 + 3 = -4 - 2 + 3 = -3$

$x = -2$のとき、$y = -(-2)^2 - (-2) + 3 = -4 + 2 + 3 = 1$

$x=-2$は定義域に含まれないため、定義域に限りなく近い値を取ると考え、-2での$y$の値である1より小さい値を考える必要があります。しかし、$x$が-2に限りなく近づく時、$y$は1に限りなく近づきます。

したがって、最大値は$\frac{13}{4}$ ($x = -\frac{1}{2}$)、最小値は-3 ($x = 2$)です。

(3) $y = -2x^2 + 10x - 8 (0 \le x \le 5)$

平方完成します。

$y = -2(x^2 - 5x) - 8 = -2(x - \frac{5}{2})^2 + 2(\frac{25}{4}) - 8 = -2(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{25}{2} - \frac{16}{2} = -2(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{9}{2}$

頂点の座標は$(\frac{5}{2}, \frac{9}{2})$で、定義域に含まれます。

$x = 0$のとき、$y = -2(0)^2 + 10(0) - 8 = -8$

$x = 5$のとき、$y = -2(5)^2 + 10(5) - 8 = -50 + 50 - 8 = -8$

したがって、最大値は$\frac{9}{2}$ ($x = \frac{5}{2}$)、最小値は-8 ($x = 0, 5$)です。

(4) $y = 3x^2 - 2x - 1 (-1 < x < 2)$

平方完成します。

$y = 3(x^2 - \frac{2}{3}x) - 1 = 3(x - \frac{1}{3})^2 - 3(\frac{1}{9}) - 1 = 3(x - \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} - \frac{3}{3} = 3(x - \frac{1}{3})^2 - \frac{4}{3}$

頂点の座標は$(\frac{1}{3}, -\frac{4}{3})$で、定義域に含まれます。

$x = -1$のとき、$y = 3(-1)^2 - 2(-1) - 1 = 3 + 2 - 1 = 4$

$x = 2$のとき、$y = 3(2)^2 - 2(2) - 1 = 12 - 4 - 1 = 7$

定義域は端点を含まないため、最大値は存在しません。$x=-1$に限りなく近い値を取ると考え、$x=2$での値である7より小さい値を考えます。

したがって、最小値は$-\frac{4}{3}$ ($x = \frac{1}{3}$)、最大値は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 11, 最小値: -1

(2) 最大値: 13/4, 最小値: -3

(3) 最大値: 9/2, 最小値: -8

(4) 最大値: なし, 最小値: -4/3