次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めます。 (1) $a_1 = 1$, $(n+1)a_{n+1} = na_n$ (2) $a_1 = 2$, $na_{n+1} = (n+1)a_n + 1$

1. 問題の内容

次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めます。

(1) $a_1 = 1$, $(n+1)a_{n+1} = na_n$

(2) $a_1 = 2$, $na_{n+1} = (n+1)a_n + 1$

2. 解き方の手順

(1)

$(n+1)a_{n+1} = na_n$より、

$\displaystyle a_{n+1} = \frac{n}{n+1} a_n$

$a_2 = \frac{1}{2} a_1 = \frac{1}{2}$

$a_3 = \frac{2}{3} a_2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$

$a_4 = \frac{3}{4} a_3 = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$

と推測できます。

$a_n = \frac{1}{n}$

数学的帰納法で証明します。

(i) $n=1$のとき、$a_1 = 1$なので、$a_1 = \frac{1}{1}$となり成り立つ。

(ii) $n=k$のとき、$a_k = \frac{1}{k}$が成り立つと仮定する。

$a_{k+1} = \frac{k}{k+1} a_k = \frac{k}{k+1} \cdot \frac{1}{k} = \frac{1}{k+1}$

よって、$n=k+1$のときも成り立つ。

したがって、$a_n = \frac{1}{n}$

(2)

$na_{n+1} = (n+1)a_n + 1$より、両辺を$n(n+1)$で割ると、

$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{n+1} = \frac{a_n}{n} + \frac{1}{n(n+1)}$

$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{n+1} = \frac{a_n}{n} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

$b_n = \frac{a_n}{n}$とおくと、

$b_{n+1} = b_n + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

$b_{n+1} - b_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

$n \ge 2$のとき、

$\displaystyle b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)$

$\displaystyle b_n = b_1 + \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right)$

$\displaystyle b_n = b_1 + 1 - \frac{1}{n}$

$\displaystyle b_1 = \frac{a_1}{1} = \frac{2}{1} = 2$なので、

$b_n = 2 + 1 - \frac{1}{n} = 3 - \frac{1}{n}$

よって、

$\displaystyle \frac{a_n}{n} = 3 - \frac{1}{n}$

$a_n = n \left( 3 - \frac{1}{n} \right) = 3n - 1$

$n=1$のとき、$a_1 = 3(1) - 1 = 2$となり、成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{1}{n}$

(2) $a_n = 3n - 1$