(1) $\sqrt{12} - \sqrt{108}$ の整数部分を $a$ 、小数部分を $b$ とするとき、$a$, $b$, $b^3 + \frac{1}{b^3}$ の値をそれぞれ求める。 (2) $x = \frac{1}{b - a + \sqrt{2}}$、 $y = \frac{1}{3a - b + \sqrt{2}}$ のとき、 $\frac{1}{x + y}$ の値を求める。 (3) 不等式 $|x - 2| < a$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するような正の定数 $a$ の値の範囲を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) $\sqrt{12} - \sqrt{108}$ の整数部分を $a$ 、小数部分を $b$ とするとき、$a$, $b$, $b^3 + \frac{1}{b^3}$ の値をそれぞれ求める。

(2) $x = \frac{1}{b - a + \sqrt{2}}$、 $y = \frac{1}{3a - b + \sqrt{2}}$ のとき、 $\frac{1}{x + y}$ の値を求める。

(3) 不等式 $|x - 2| < a$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するような正の定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\sqrt{12} - \sqrt{108}$ を簡単にします。

$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$

よって、$\sqrt{12} - \sqrt{108} = 2\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = -4\sqrt{3}$

ここで、$\sqrt{3}$ は約 1.732 なので、$-4\sqrt{3} \approx -4 \times 1.732 = -6.928$

したがって、整数部分 $a = -7$ です。

小数部分 $b = -4\sqrt{3} - a = -4\sqrt{3} - (-7) = 7 - 4\sqrt{3}$

$b^3 + \frac{1}{b^3}$ を計算するために、$b + \frac{1}{b}$ を求めます。

$\frac{1}{b} = \frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} = \frac{7 + 4\sqrt{3}}{(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})} = \frac{7 + 4\sqrt{3}}{49 - 16 \cdot 3} = \frac{7 + 4\sqrt{3}}{1} = 7 + 4\sqrt{3}$

$b + \frac{1}{b} = (7 - 4\sqrt{3}) + (7 + 4\sqrt{3}) = 14$

$(b + \frac{1}{b})^3 = b^3 + 3b^2(\frac{1}{b}) + 3b(\frac{1}{b^2}) + \frac{1}{b^3} = b^3 + 3b + \frac{3}{b} + \frac{1}{b^3} = b^3 + \frac{1}{b^3} + 3(b + \frac{1}{b})$

$b^3 + \frac{1}{b^3} = (b + \frac{1}{b})^3 - 3(b + \frac{1}{b}) = 14^3 - 3 \cdot 14 = 2744 - 42 = 2702$

(2)

$x = \frac{1}{b - a + \sqrt{2}} = \frac{1}{(7 - 4\sqrt{3}) - (-7) + \sqrt{2}} = \frac{1}{14 - 4\sqrt{3} + \sqrt{2}}$

$y = \frac{1}{3a - b + \sqrt{2}} = \frac{1}{3(-7) - (7 - 4\sqrt{3}) + \sqrt{2}} = \frac{1}{-21 - 7 + 4\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{1}{-28 + 4\sqrt{3} + \sqrt{2}}$

$x + y = \frac{1}{14 - 4\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{-28 + 4\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{-28 + 4\sqrt{3} + \sqrt{2} + 14 - 4\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(14 - 4\sqrt{3} + \sqrt{2})(-28 + 4\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{-14 + 2\sqrt{2}}{(14 - 4\sqrt{3} + \sqrt{2})(-28 + 4\sqrt{3} + \sqrt{2})}$

$\frac{1}{x + y} = \frac{(14 - 4\sqrt{3} + \sqrt{2})(-28 + 4\sqrt{3} + \sqrt{2})}{-14 + 2\sqrt{2}}$

少し違う気がするので、計算ミスがないか見直してみます。

$b - a + \sqrt{2} = (7 - 4\sqrt{3}) - (-7) + \sqrt{2} = 14 - 4\sqrt{3} + \sqrt{2}$

$3a - b + \sqrt{2} = 3(-7) - (7 - 4\sqrt{3}) + \sqrt{2} = -21 - 7 + 4\sqrt{3} + \sqrt{2} = -28 + 4\sqrt{3} + \sqrt{2}$

$x = \frac{1}{14 - 4\sqrt{3} + \sqrt{2}}$, $y = \frac{1}{-28 + 4\sqrt{3} + \sqrt{2}}$

$x + y = \frac{1}{14 - 4\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{-28 + 4\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{-28 + 4\sqrt{3} + \sqrt{2} + 14 - 4\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(14 - 4\sqrt{3} + \sqrt{2})(-28 + 4\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{-14 + 2\sqrt{2}}{(14 - 4\sqrt{3} + \sqrt{2})(-28 + 4\sqrt{3} + \sqrt{2})}$

この問題には、工夫が必要そうです。

問題文をよく見ると、xとyの式を足すことで簡単にできる可能性があります。

$x = \frac{1}{b - a + \sqrt{2}}$, $y = \frac{1}{3a - b + \sqrt{2}}$

$x + y = \frac{1}{b - a + \sqrt{2}} + \frac{1}{3a - b + \sqrt{2}} = \frac{3a - b + \sqrt{2} + b - a + \sqrt{2}}{(b - a + \sqrt{2})(3a - b + \sqrt{2})} = \frac{2a + 2\sqrt{2}}{(b - a + \sqrt{2})(3a - b + \sqrt{2})} = \frac{2(a + \sqrt{2})}{(b - a + \sqrt{2})(3a - b + \sqrt{2})}$

$a = -7$ なので、 $2(-7 + \sqrt{2}) = -14 + 2\sqrt{2}$

さらに簡単にできそうにないので、保留します。

(3)

$|x - 2| < a$

$-a < x - 2 < a$

$2 - a < x < 2 + a$

これを満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するためには、

$2 - a$, $2 + a$ の間の幅が4より大きく6以下でなければなりません。

整数xが5個なので、

$x = 2 - 2, 2 - 1, 2, 2 + 1, 2 + 2 = 0, 1, 2, 3, 4$

$2 - a < 0$ で $4 < 2 + a$ である必要があります。

このときのaの値は $a > 2$ と $a > 2$ なので、$a > 2$

また、$2-a$ が -1と-2の間で、 $2 + a$ が 4と5の間にある必要があります。

整数が5個なので、$2+a - (2-a)$は、4より大きく、5より小さいです。

言い換えると、$4 < 2a <= 6$となる必要があるので

$2 < a <= 3$

3. 最終的な答え

(1) $a = -7$, $b = 7 - 4\sqrt{3}$, $b^3 + \frac{1}{b^3} = 2702$

(2) (計算が合わず保留)

(3) $2 < a \le 3$