$a, b$ は実数とする。次の命題の真偽を調べ、その逆、対偶、裏を述べ、それらの真偽を調べよ。 (1) $a > b \implies a - b > 0$ (2) $a = 0 \implies ab = 0$

1. 問題の内容

$a, b$ は実数とする。次の命題の真偽を調べ、その逆、対偶、裏を述べ、それらの真偽を調べよ。

(1) $a > b \implies a - b > 0$

(2) $a = 0 \implies ab = 0$

2. 解き方の手順

(1)

元の命題: $a > b \implies a - b > 0$

真偽: $a > b$ ならば $a - b > 0$ は常に成り立つので真。

逆: $a - b > 0 \implies a > b$

真偽: $a - b > 0$ ならば $a > b$ は常に成り立つので真。

対偶: $a - b \leq 0 \implies a \leq b$

真偽: 元の命題が真なので、対偶も真。

裏: $a \leq b \implies a - b \leq 0$

真偽: $a \leq b$ ならば $a - b \leq 0$ は常に成り立つので真。

(2)

元の命題: $a = 0 \implies ab = 0$

真偽: $a = 0$ ならば $ab = 0$ は常に成り立つので真。

逆: $ab = 0 \implies a = 0$

真偽: $ab = 0$ でも $a = 0$ とは限らない（例：$a = 1, b = 0$）。よって偽。

対偶: $ab \neq 0 \implies a \neq 0$

真偽: 元の命題が真なので、対偶も真。

裏: $a \neq 0 \implies ab \neq 0$

真偽: 逆が偽なので、裏も偽。

3. 最終的な答え

(1)

元の命題: $a > b \implies a - b > 0$ (真)

逆: $a - b > 0 \implies a > b$ (真)

対偶: $a - b \leq 0 \implies a \leq b$ (真)

裏: $a \leq b \implies a - b \leq 0$ (真)

(2)

元の命題: $a = 0 \implies ab = 0$ (真)

逆: $ab = 0 \implies a = 0$ (偽)

対偶: $ab \neq 0 \implies a \neq 0$ (真)

裏: $a \neq 0 \implies ab \neq 0$ (偽)