数列 $7, 77, 777, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求める。

1. 問題の内容

数列 $7, 77, 777, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求める。

2. 解き方の手順

まず、数列の一般項を求める。

$7 = 7 \times 1 = 7 \times \frac{10-1}{9}$

$77 = 7 \times 11 = 7 \times \frac{100-1}{9} = 7 \times \frac{10^2-1}{9}$

$777 = 7 \times 111 = 7 \times \frac{1000-1}{9} = 7 \times \frac{10^3-1}{9}$

したがって、第 $n$ 項 $a_n$ は、

$a_n = 7 \times \frac{10^n-1}{9} = \frac{7}{9}(10^n - 1)$

数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{7}{9}(10^k - 1) = \frac{7}{9} \sum_{k=1}^{n} (10^k - 1)$

$\sum_{k=1}^{n} 10^k$ は初項 10, 公比 10 の等比数列の和なので、

$\sum_{k=1}^{n} 10^k = \frac{10(10^n - 1)}{10-1} = \frac{10(10^n - 1)}{9}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

したがって、

$S_n = \frac{7}{9} \left( \frac{10(10^n - 1)}{9} - n \right) = \frac{7}{9} \left( \frac{10^{n+1} - 10 - 9n}{9} \right) = \frac{7(10^{n+1} - 9n - 10)}{81}$

3. 最終的な答え

$\frac{7(10^{n+1} - 9n - 10)}{81}$