与えられた漸化式を $a_{n+1} - c = p(a_n - c)$ の形に変形する。

1. 問題の内容

与えられた漸化式を $a_{n+1} - c = p(a_n - c)$ の形に変形する。

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+1} = 3a_n - 6$

まず、$a_{n+1} - c = 3(a_n - c)$ の形を仮定する。

展開すると $a_{n+1} = 3a_n - 3c + c = 3a_n - 2c$ となる。

与えられた漸化式と比較して $-2c = -6$ なので、$c = 3$。

よって、$a_{n+1} - 3 = 3(a_n - 3)$ となる。

(2) $a_{n+1} = 9 - 2a_n$

まず、$a_{n+1} - c = -2(a_n - c)$ の形を仮定する。

展開すると $a_{n+1} = -2a_n + 2c + c = -2a_n + 3c$ となる。

与えられた漸化式と比較して $3c = 9$ なので、$c = 3$。

よって、$a_{n+1} - 3 = -2(a_n - 3)$ となる。

(3) $a_{n+1} - 4a_n = 1$

変形して、$a_{n+1} = 4a_n + 1$

まず、$a_{n+1} - c = 4(a_n - c)$ の形を仮定する。

展開すると $a_{n+1} = 4a_n - 4c + c = 4a_n - 3c$ となる。

与えられた漸化式と比較して $-3c = 1$ なので、$c = -\frac{1}{3}$。

よって、$a_{n+1} + \frac{1}{3} = 4(a_n + \frac{1}{3})$ となる。

(4) $3a_{n+1} + a_n = 8$

変形して、$3a_{n+1} = -a_n + 8$、よって $a_{n+1} = -\frac{1}{3}a_n + \frac{8}{3}$

まず、$a_{n+1} - c = -\frac{1}{3}(a_n - c)$ の形を仮定する。

展開すると $a_{n+1} = -\frac{1}{3}a_n + \frac{1}{3}c + c = -\frac{1}{3}a_n + \frac{4}{3}c$ となる。

与えられた漸化式と比較して $\frac{4}{3}c = \frac{8}{3}$ なので、$c = 2$。

よって、$a_{n+1} - 2 = -\frac{1}{3}(a_n - 2)$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $a_{n+1} - 3 = 3(a_n - 3)$

(2) $a_{n+1} - 3 = -2(a_n - 3)$

(3) $a_{n+1} + \frac{1}{3} = 4(a_n + \frac{1}{3})$

(4) $a_{n+1} - 2 = -\frac{1}{3}(a_n - 2)$