与えられた行列の行列式を計算する問題です。全部で9個の行列があります。ただし、問題(2)では $\theta$ と $\phi$ が実数であることが指定されています。

はい、承知いたしました。線形代数の問題ですね。行列式を求める問題について、順番に解説していきます。

1. 問題の内容

与えられた行列の行列式を計算する問題です。全部で9個の行列があります。ただし、問題(2)では $\theta$ と $\phi$ が実数であることが指定されています。

2. 解き方の手順

(1) 2x2行列の行列式

$\begin{vmatrix} 8 & -7 \\ -5 & 3 \end{vmatrix} = (8)(3) - (-7)(-5) = 24 - 35 = -11$

(2) 3x3行列の行列式

$\begin{vmatrix} \sin \theta & -\cos \theta & 0 \\ \cos \theta \sin \phi & \sin \theta \sin \phi & -\cos \phi \\ \cos \theta \cos \phi & \sin \theta \cos \phi & \sin \phi \end{vmatrix}$

$= \sin \theta (\sin \theta \sin^2 \phi + \cos^2 \phi) - (-\cos \theta) (\cos \theta \sin \phi \sin \phi + \cos \phi \sin \phi \cos \theta) + 0$

$= \sin \theta (\sin \theta \sin^2 \phi + \cos^2 \phi) + \cos \theta (\cos \theta \sin^2 \phi + \cos \phi \sin \phi \cos \theta)$

$= \sin^2 \theta \sin^2 \phi + \sin \theta \cos^2 \phi + \cos^2 \theta \sin^2 \phi + \cos^2 \theta \sin \phi \cos \phi$

$= (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)\sin^2 \phi + (\sin \theta \cos^2 \phi) = \sin^2 \phi + \sin \theta \cos^2 \phi$

$= \sin^2 \phi + \sin \theta \cos^2 \phi$

しかし、計算が複雑になったので、別のやり方で計算します。

第1行で余因子展開します。

$\begin{vmatrix} \sin \theta & -\cos \theta & 0 \\ \cos \theta \sin \phi & \sin \theta \sin \phi & -\cos \phi \\ \cos \theta \cos \phi & \sin \theta \cos \phi & \sin \phi \end{vmatrix} = \sin\theta\begin{vmatrix} \sin\theta\sin\phi & -\cos\phi \\ \sin\theta\cos\phi & \sin\phi \end{vmatrix} - (-\cos\theta) \begin{vmatrix} \cos\theta\sin\phi & -\cos\phi \\ \cos\theta\cos\phi & \sin\phi \end{vmatrix}$

$= \sin\theta(\sin\theta\sin^2\phi + \cos\phi\sin\theta\cos\phi) + \cos\theta(\cos\theta\sin\phi\sin\phi + \cos\theta\cos^2\phi)$

$= \sin^2\theta\sin^2\phi + \sin^2\theta\cos^2\phi + \cos^2\theta\sin^2\phi + \cos^2\theta\cos^2\phi$

$= \sin^2\theta(\sin^2\phi + \cos^2\phi) + \cos^2\theta(\sin^2\phi + \cos^2\phi)$

$= \sin^2\theta(1) + \cos^2\theta(1) = \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

(3) 3x3行列の行列式

$\begin{vmatrix} 5 & 1 & 0 \\ 0 & 9 & 6 \\ 0 & 7 & 5 \end{vmatrix} = 5 \begin{vmatrix} 9 & 6 \\ 7 & 5 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 0 & 6 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 0 & 9 \\ 0 & 7 \end{vmatrix} = 5(45 - 42) - 1(0) + 0 = 5(3) = 15$

(4) 3x3行列の行列式

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & -9 \end{vmatrix} = 1 \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & -9 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & -9 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = 1(-45 - 48) - 2(-36 - 42) + 3(32 - 35) = -93 - 2(-78) + 3(-3) = -93 + 156 - 9 = 54$

(5) 4x4行列の行列式

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 999 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 5 & 999 & 6 \\ 7 & 8 & 999 & -9 \end{vmatrix}$

第2行で余因子展開します。

$(-1)^{2+3}(1) \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & -9 \end{vmatrix} = -1(54) = -54$ （(4)の結果を利用）

(6) 3x3行列の行列式

$\begin{vmatrix} 123 & 234 & 345 \\ 234 & 345 & 456 \\ 345 & 456 & 567 \end{vmatrix}$

2行目から1行目を引く、3行目から2行目を引く操作をします。行列式は変わりません。

$\begin{vmatrix} 123 & 234 & 345 \\ 111 & 111 & 111 \\ 111 & 111 & 111 \end{vmatrix} = 0$

なぜなら、2行目と3行目が同じなので、行列式は0になります。

(7) 3x3行列の行列式

$\begin{vmatrix} -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1(1 + 1) + 1(-1 + 1) - 1(1 + 1) = -2 + 0 - 2 = -4$

(8) 4x4行列の行列式

$\begin{vmatrix} -1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}$

2行目以降に1行目を足します。

$\begin{vmatrix} -1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & -2 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{vmatrix} = (-1)(-2)(-2)(-2) = -8$

(9) 5x5行列の行列式

$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 \\ 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

1行目と2行目を入れ替えます。

$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 \\ 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 \\ 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

3行目から1行目の2倍を引く、4行目から1行目の3倍を引く、5行目から1行目の4倍を引きます。

$- \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & -2 & -3 & -4 \\ 0 & 2 & -2 & -6 & -8 \\ 0 & 3 & -2 & -7 & -12 \end{vmatrix}$

4行目から2行目の2倍を引く、5行目から2行目の3倍を引きます。

$- \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & -2 & -3 & -4 \\ 0 & 0 & -6 & -12 & -16 \\ 0 & 0 & -8 & -16 & -24 \end{vmatrix}$

3行目から2行目を引きます。

$- \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & -4 & -6 & -8 \\ 0 & 0 & -6 & -12 & -16 \\ 0 & 0 & -8 & -16 & -24 \end{vmatrix}$

4行目から3行目の3/2倍を引く、5行目から3行目の2倍を引きます。

$- \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & -4 & -6 & -8 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & -4 & -8 \end{vmatrix}$

5行目から4行目の4/3倍を引きます。

$- \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & -4 & -6 & -8 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -8/3 \end{vmatrix}$

行列式は対角成分の積です。

$-(1)(1)(-4)(-3)(-8/3) = -32$

3. 最終的な答え

(1) -11

(2) 1

(3) 15

(4) 54

(5) -54

(6) 0

(7) -4

(8) -8

(9) -32