整式 $A = 2x^2 - x - 7$ を整式 $B$ で割ったところ、商が $x-3$、余りが $8$ となった。整式 $B$ を求めよ。

## 問題 2

1. 問題の内容

整式 $A = 2x^2 - x - 7$ を整式 $B$ で割ったところ、商が $x-3$、余りが $8$ となった。整式 $B$ を求めよ。

2. 解き方の手順

整式の割り算の基本である

$A = BQ + R$

（$A$: 被除数, $B$: 除数, $Q$: 商, $R$: 余り）の関係式を利用します。

まず、$A = 2x^2 - x - 7$、$Q = x - 3$、$R = 8$ を代入します。

$2x^2 - x - 7 = B(x - 3) + 8$

次に、Bについて解くため、式を整理します。

$B(x - 3) = 2x^2 - x - 7 - 8$

$B(x - 3) = 2x^2 - x - 15$

したがって、$B$ は $2x^2 - x - 15$ を $x - 3$ で割った商に等しくなります。

筆算または因数分解によって$2x^2 - x - 15$を$x - 3$で割ります。

$2x^2 - x - 15 = (x-3)(2x+5)$

よって、$B=2x+5$となります。

3. 最終的な答え

$B = 2x + 5$

## 問題 3

1. 問題の内容

$P(x) = x^2 - 2x - 3$ のとき、次の値を求めよ。

(1) $P(1)$

(2) $P(-3)$

2. 解き方の手順

(1) $P(1)$ を求めるには、$P(x)$ の $x$ に $1$ を代入します。

$P(1) = 1^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$

(2) $P(-3)$ を求めるには、$P(x)$ の $x$ に $-3$ を代入します。

$P(-3) = (-3)^2 - 2(-3) - 3 = 9 + 6 - 3 = 12$

3. 最終的な答え

(1) $P(1) = -4$

(2) $P(-3) = 12$

## 問題 4

1. 問題の内容

$P(x) = x^3 + 4x^2 + 2x - 4$ を次の式で割ったときの余りを求めよ。

(1) $x - 1$

(2) $x + 2$

2. 解き方の手順

余剰の定理を利用します。$P(x)$ を $x - a$ で割った余りは $P(a)$ に等しい。

(1) $x - 1$ で割った余りを求めるには、$P(1)$ を計算します。

$P(1) = 1^3 + 4(1)^2 + 2(1) - 4 = 1 + 4 + 2 - 4 = 3$

(2) $x + 2$ で割った余りを求めるには、$P(-2)$ を計算します。

$P(-2) = (-2)^3 + 4(-2)^2 + 2(-2) - 4 = -8 + 16 - 4 - 4 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $x - 1$ で割った余り: $3$

(2) $x + 2$ で割った余り: $0$