与えられた4つの2次関数について、定義域が指定されています。それぞれの関数における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた4つの2次関数について、定義域が指定されています。それぞれの関数における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で最大値と最小値を求めます。

(1) 関数を平方完成し、頂点の座標を求めます。

(2) 定義域における関数のグラフの概形を考え、頂点の位置と定義域の端点の値を比較します。

(3) 最大値と最小値を決定します。

それぞれの関数について計算していきます。

(1) $y = x^2 - 3x + 1$, $-2 \le x \le 1$

平方完成すると $y = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{5}{4}$。

頂点は $(\frac{3}{2}, -\frac{5}{4})$ ですが、これは定義域外です。

$x = -2$ のとき $y = (-2)^2 - 3(-2) + 1 = 4 + 6 + 1 = 11$。

$x = 1$ のとき $y = (1)^2 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$。

よって、最大値は $11$, 最小値は $-1$。

(2) $y = -x^2 - x + 3$, $-2 < x \le 2$

平方完成すると $y = -(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{13}{4}$。

頂点は $(-\frac{1}{2}, \frac{13}{4})$ で、これは定義域内にあります。

$x = -\frac{1}{2}$ のとき $y = \frac{13}{4}$。

$x = 2$ のとき $y = -(2)^2 - 2 + 3 = -4 - 2 + 3 = -3$。

$x = -2$ のとき $y = -(-2)^2 - (-2) + 3 = -4 + 2 + 3 = 1$。

$x = -2$ は定義域に含まれないので、最小値はありません。しかし、定義域内のxで、$x=-2$にいくらでも近い値を取る事ができるため、yは1にいくらでも近い値を取ることができます。

最大値は $\frac{13}{4}$、最小値は存在しないが、$1$にいくらでも近い値を取ります。

(3) $y = -2x^2 + 10x - 8$, $0 \le x \le 5$

平方完成すると $y = -2(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{9}{2}$。

頂点は $(\frac{5}{2}, \frac{9}{2})$ で、これは定義域内にあります。

$x = \frac{5}{2}$ のとき $y = \frac{9}{2}$。

$x = 0$ のとき $y = -8$。

$x = 5$ のとき $y = -2(5)^2 + 10(5) - 8 = -50 + 50 - 8 = -8$。

よって、最大値は $\frac{9}{2}$, 最小値は $-8$。

(4) $y = 3x^2 - 2x - 1$, $-1 < x < 2$

平方完成すると $y = 3(x - \frac{1}{3})^2 - \frac{4}{3}$。

頂点は $(\frac{1}{3}, -\frac{4}{3})$ で、これは定義域内にあります。

$x = \frac{1}{3}$ のとき $y = -\frac{4}{3}$。

$x = 2$ のとき $y = 3(2)^2 - 2(2) - 1 = 12 - 4 - 1 = 7$。

$x = -1$ のとき $y = 3(-1)^2 - 2(-1) - 1 = 3 + 2 - 1 = 4$。

$x = -1$と$x = 2$は定義域に含まれないので、最大値、最小値は存在しません。しかし、定義域内のxで、$x=2$にいくらでも近い値を取る事ができるため、yは7にいくらでも近い値を取ることができます。同様に$x=-1$にいくらでも近い値を取る事ができるため、yは4にいくらでも近い値を取ることができます。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $11$, 最小値: $-1$

(2) 最大値: $\frac{13}{4}$, 最小値: 存在しないが、$1$にいくらでも近い値を取ります。

(3) 最大値: $\frac{9}{2}$, 最小値: $-8$

(4) 最大値: 存在しないが、$7$にいくらでも近い値を取ります。, 最小値: 存在しないが、$-\frac{4}{3}$