与えられた式を整理して、最も簡単な形で表す問題です。式は以下の通りです。 $\frac{1}{6}(n-1)((n-1)+1)(2(n-1)+1) + 3 \cdot \frac{1}{2}(n-1)((n-1)+1)$

1. 問題の内容

与えられた式を整理して、最も簡単な形で表す問題です。式は以下の通りです。

$\frac{1}{6}(n-1)((n-1)+1)(2(n-1)+1) + 3 \cdot \frac{1}{2}(n-1)((n-1)+1)$

2. 解き方の手順

まず、式を簡略化します。

$(n-1) + 1 = n$

$2(n-1) + 1 = 2n - 2 + 1 = 2n - 1$

したがって、元の式は以下のように書き換えられます。

$\frac{1}{6}(n-1)(n)(2n-1) + \frac{3}{2}(n-1)(n)$

次に、共通因数 $(n-1)(n)$ をくくりだします。

$(n-1)(n) \left( \frac{1}{6}(2n-1) + \frac{3}{2} \right)$

括弧の中を計算します。

$\frac{1}{6}(2n-1) + \frac{3}{2} = \frac{2n-1}{6} + \frac{9}{6} = \frac{2n-1+9}{6} = \frac{2n+8}{6} = \frac{2(n+4)}{6} = \frac{n+4}{3}$

したがって、元の式は以下のように書き換えられます。

$(n-1)(n) \left( \frac{n+4}{3} \right) = \frac{n(n-1)(n+4)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n-1)(n+4)}{3}$