2次方程式 $x^2 + px + 13 = 0$ が解 $2+3i$ を持つとき、実数の定数 $p$ の値と他の解を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + px + 13 = 0$ が解 $2+3i$ を持つとき、実数の定数 $p$ の値と他の解を求める。

2. 解き方の手順

複素数が解であるとき、係数が実数であることから、共役複素数も解になることを利用します。

* $2+3i$ が解であるとき、$2-3i$ も解である。

* 解と係数の関係より、２つの解の和は $-p$ に等しい。

* 解と係数の関係より、２つの解の積は $13$ に等しい。

$2+3i$ と $2-3i$ の和は、

$$(2+3i) + (2-3i) = 4$$

$2+3i$ と $2-3i$ の積は、

$$(2+3i)(2-3i) = 2^2 - (3i)^2 = 4 - 9i^2 = 4 - 9(-1) = 4 + 9 = 13$$

解と係数の関係より、

$-p = (2+3i) + (2-3i) = 4$

$p = -4$

3. 最終的な答え

$p = -4$

他の解は $2-3i$