$a+b+c=0$ のとき、$a^2+b^2+c^2=2a(a+b)+2b(b+c)+2c(c+a)$ を証明する。

1. 問題の内容

$a+b+c=0$ のとき、$a^2+b^2+c^2=2a(a+b)+2b(b+c)+2c(c+a)$ を証明する。

2. 解き方の手順

与えられた条件 $a+b+c=0$ から、$c = -(a+b)$ を得る。

この式を右辺に代入し、右辺を左辺に変形することを目指す。

右辺を展開すると、

$2a(a+b)+2b(b+c)+2c(c+a) = 2a^2 + 2ab + 2b^2 + 2bc + 2c^2 + 2ac$

ここで、$c = -(a+b)$ を代入する。

$2a^2 + 2ab + 2b^2 + 2b(-(a+b)) + 2(-(a+b))^2 + 2a(-(a+b))$

$= 2a^2 + 2ab + 2b^2 - 2ab - 2b^2 + 2(a^2 + 2ab + b^2) - 2a^2 - 2ab$

$= 2a^2 + 2ab + 2b^2 - 2ab - 2b^2 + 2a^2 + 4ab + 2b^2 - 2a^2 - 2ab$

$= (2a^2 + 2a^2 - 2a^2) + (2ab - 2ab + 4ab - 2ab) + (2b^2 - 2b^2 + 2b^2)$

$= 2a^2 + 2ab + 2b^2$

ここで、$a+b+c = 0$ より、$a+b = -c$ なので、 $ab = \frac{(a+b)^2 - (a^2 + b^2)}{2}$

$c = -(a+b)$ を使うと、$a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + b^2 + (a+b)^2 = a^2 + b^2 + a^2 + 2ab + b^2 = 2a^2 + 2ab + 2b^2$

$2a(a+b)+2b(b+c)+2c(c+a) = 2a^2 + 2ab + 2b^2 - 2ab - 2b^2 + 2(a+b)^2 - 2a(a+b)$

$= 2a^2 + 2ab + 2b^2 - 2ab - 2b^2 + 2a^2 + 4ab + 2b^2 - 2a^2 - 2ab$

$= 2a^2+2b^2+2ab$

また、左辺は

$a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + b^2 + (-(a+b))^2 = a^2 + b^2 + (a+b)^2 = a^2 + b^2 + a^2 + 2ab + b^2 = 2a^2 + 2b^2 + 2ab$

したがって、$a^2+b^2+c^2=2a(a+b)+2b(b+c)+2c(c+a)$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$a^2+b^2+c^2=2a(a+b)+2b(b+c)+2c(c+a)$ は、$a+b+c=0$ のとき成り立つ。