$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$のとき、$\frac{c^2+2d^2}{a^2+2b^2} = \frac{2c^2+d^2}{2a^2+b^2}$が成り立つことを証明する問題です。

1. 問題の内容

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$のとき、$\frac{c^2+2d^2}{a^2+2b^2} = \frac{2c^2+d^2}{2a^2+b^2}$が成り立つことを証明する問題です。

2. 解き方の手順

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$より、$c = \frac{ad}{b}$を導きます。

この式をそれぞれの式の左辺と右辺に代入して計算します。

左辺：

$\frac{c^2 + 2d^2}{a^2 + 2b^2} = \frac{(\frac{ad}{b})^2 + 2d^2}{a^2 + 2b^2} = \frac{\frac{a^2d^2}{b^2} + 2d^2}{a^2 + 2b^2} = \frac{d^2(a^2 + 2b^2)}{b^2(a^2 + 2b^2)} = \frac{d^2}{b^2}$

右辺：

$\frac{2c^2 + d^2}{2a^2 + b^2} = \frac{2(\frac{ad}{b})^2 + d^2}{2a^2 + b^2} = \frac{2\frac{a^2d^2}{b^2} + d^2}{2a^2 + b^2} = \frac{d^2(2a^2 + b^2)}{b^2(2a^2 + b^2)} = \frac{d^2}{b^2}$

したがって、$\frac{c^2+2d^2}{a^2+2b^2} = \frac{2c^2+d^2}{2a^2+b^2}$が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$のとき、$\frac{c^2+2d^2}{a^2+2b^2} = \frac{2c^2+d^2}{2a^2+b^2}$が成り立つ。