等比数列 $\{a_n\}$ において、第3項が45、第5項が405である。このとき、初項 $a$ と公比 $r$ を求め、一般項 $a_n$ を求める。また、初項が-5、公比が-5の等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。また第３項を求める。

1. 問題の内容

等比数列 $\{a_n\}$ において、第3項が45、第5項が405である。このとき、初項 $a$ と公比 $r$ を求め、一般項 $a_n$ を求める。また、初項が-5、公比が-5の等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。また第３項を求める。

2. 解き方の手順

まず、等比数列の一般項は $a_n = ar^{n-1}$ で表される。

与えられた条件から、以下の2つの式が得られる。

$ar^2 = 45$ (1)

$ar^4 = 405$ (2)

式(2)を式(1)で割ると、

$\frac{ar^4}{ar^2} = \frac{405}{45}$

$r^2 = 9$

$r = \pm 3$

$r=3$ のとき、$a(3^2)=45$ より $9a=45$、$a=5$

$r=-3$ のとき、$a((-3)^2)=45$ より $9a=45$、$a=5$

したがって、$a=5$, $r=3$ または $a=5$, $r=-3$

一般項は、$a_n = 5 \cdot 3^{n-1}$ または $a_n = 5 \cdot (-3)^{n-1}$

次に、初項が-5、公比が-5の等比数列 $\{a_n\}$ の一般項は、

$a_n = (-5) \cdot (-5)^{n-1} = (-5)^n$

第3項は $a_3 = (-5)^3 = -125$

3. 最終的な答え

初項と公比は、$a=5, r=3$ または $a=5, r=-3$

一般項は、$a_n = 5 \cdot 3^{n-1}$ または $a_n = 5 \cdot (-3)^{n-1}$

初項が-5、公比が-5の等比数列の一般項は、$a_n = (-5)^n$

第3項は、$a_3 = -125$