2次関数 $y=x^2$ のグラフを、2点 $(c, 0), (c+4, 0)$ を通るように平行移動して得られるグラフをGとする。 Gをグラフにもつ2次関数を $c$ を用いて表すと $y=x^2-2(c+ \boxed{ア})x+c(c+ \boxed{イ})$ である。 さらに、Gが点 $(3, -1)$ を通るとき、Gは2次関数 $y=x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $\boxed{ウ} + \sqrt{\boxed{エ}}$, $y$ 軸方向に $\boxed{オカ}$ だけ平行移動したものである。 ア, イ, ウ, エ, オカに当てはまる数を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y=x^2$ のグラフを、2点 $(c, 0), (c+4, 0)$ を通るように平行移動して得られるグラフをGとする。

Gをグラフにもつ2次関数を $c$ を用いて表すと $y=x^2-2(c+ \boxed{ア})x+c(c+ \boxed{イ})$ である。

さらに、Gが点 $(3, -1)$ を通るとき、Gは2次関数 $y=x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $\boxed{ウ} + \sqrt{\boxed{エ}}$, $y$ 軸方向に $\boxed{オカ}$ だけ平行移動したものである。

ア, イ, ウ, エ, オカに当てはまる数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2点 $(c, 0)$ と $(c+4, 0)$ を通るグラフGの式を求める。

これは $y = (x-c)(x-(c+4))$ と表せる。

展開すると、

$y = x^2 - (c+4+c)x + c(c+4) = x^2 - (2c+4)x + c(c+4)$

したがって、

$y = x^2 - 2(c+2)x + c(c+4)$

これより、ア=2, イ=4

次に、Gが点 $(3, -1)$ を通ることから $c$ の値を求める。

$x=3, y=-1$ を代入すると、

$-1 = 3^2 - 2(c+2)(3) + c(c+4)$

$-1 = 9 - 6(c+2) + c^2 + 4c$

$-1 = 9 - 6c - 12 + c^2 + 4c$

$c^2 - 2c - 1 + 12 - 9 = 0$

$c^2 - 2c + 2 = 0$

解の公式より、

$c = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4-8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i$

ただし、$2 \leq c \leq 3$ であることから、cは実数でなければならない。

間違いを探すと、

$y=x^2 - 2(c+2)x + c(c+4)$ で、平方完成すると

$y = (x - (c+2))^2 - (c+2)^2 + c(c+4) = (x - (c+2))^2 - (c^2 + 4c + 4) + c^2 + 4c = (x-(c+2))^2 - 4$

よって、頂点は $(c+2, -4)$

Gが点 $(3, -1)$ を通るので、$y=(x-(c+2))^2 - 4$ に代入すると

$-1 = (3-(c+2))^2 - 4$

$3 = (3-c-2)^2$

$3 = (1-c)^2$

$1-c = \pm \sqrt{3}$

$c = 1 \mp \sqrt{3}$

$2 \le c \le 3$ より $c = 1 + \sqrt{3}$

$y=x^2$ を $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると $y = (x-p)^2 + q$

グラフGの式は $y = (x-(c+2))^2 - 4$

つまり $y = (x - (3+\sqrt{3}))^2 - 4$

したがって、

$x$ 軸方向に $3 + \sqrt{3}$

$y$ 軸方向に $-4$

ウ=3, エ=3, オカ=-4

3. 最終的な答え

ア=2

イ=4

ウ=3

エ=3

オカ=-4