集合Aは2桁の自然数全体の集合、集合Bは300以下の7と5の公倍数全体の集合である。このとき、$n(A \cap B)$と$n(A \cup B)$を求めよ。ここで、$n(X)$は集合Xの要素の個数を表す。

1. 問題の内容

集合Aは2桁の自然数全体の集合、集合Bは300以下の7と5の公倍数全体の集合である。このとき、$n(A \cap B)$と$n(A \cup B)$を求めよ。ここで、$n(X)$は集合Xの要素の個数を表す。

2. 解き方の手順

まず、集合Aと集合Bの要素を具体的に調べる。

集合Aは、10から99までの自然数なので、その要素の個数は$n(A) = 99 - 10 + 1 = 90$である。

集合Bは、7と5の公倍数、つまり35の倍数で300以下の数である。

35の倍数を小さい順に列挙すると、35, 70, 105, 140, 175, 210, 245, 280となる。

したがって、$B = \{35, 70, 105, 140, 175, 210, 245, 280\}$であり、$n(B) = 8$である。

次に、$A \cap B$を求める。これは、集合Aと集合Bに共通する要素の集合である。

集合Aは2桁の自然数なので、集合Bの要素のうち、2桁のものは35と70である。

したがって、$A \cap B = \{35, 70\}$であり、$n(A \cap B) = 2$である。

最後に、$A \cup B$を求める。これは、集合Aと集合Bの要素を合わせた集合である。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$の関係を利用する。

$n(A \cup B) = 90 + 8 - 2 = 96$である。

3. 最終的な答え

$n(A \cap B) = 2$

$n(A \cup B) = 96$