2次方程式 $x^2 - 2x + m - 1 = 0$ が実数解をもつとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2x + m - 1 = 0$ が実数解をもつとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式が実数解をもつための条件は、判別式 $D$ が $D \geq 0$ となることです。

与えられた2次方程式 $x^2 - 2x + m - 1 = 0$ の判別式 $D$ は、

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 1)$

$D = 4 - 4(m - 1)$

$D = 4 - 4m + 4$

$D = 8 - 4m$

実数解をもつ条件 $D \geq 0$ より、

$8 - 4m \geq 0$

$-4m \geq -8$

$4m \leq 8$

$m \leq 2$

3. 最終的な答え

$m \leq 2$