3次関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ が $x=3$ で極値 $-27$ をとるとき、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ が $x=3$ で極値 $-27$ をとるとき、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x=3$ で極値 $-27$ をとることから、以下の2つの式が得られます。

* $f(3) = -27$

* $f'(3) = 0$

$f(3) = -27$ より、

$3^3 + a \cdot 3^2 + b \cdot 3 = -27$

$27 + 9a + 3b = -27$

$9a + 3b = -54$

$3a + b = -18$ ...(1)

次に、$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$

$f'(3) = 0$ より、

$3 \cdot 3^2 + 2a \cdot 3 + b = 0$

$27 + 6a + b = 0$

$6a + b = -27$ ...(2)

(2) - (1) より、

$(6a + b) - (3a + b) = -27 - (-18)$

$3a = -9$

$a = -3$

$a = -3$ を (1) に代入すると、

$3(-3) + b = -18$

$-9 + b = -18$

$b = -9$

したがって、$a = -3$, $b = -9$ であることが分かりました。

$f(x) = x^3 -3x^2 -9x$

$f'(x) = 3x^2 -6x -9 = 3(x^2 -2x -3) = 3(x-3)(x+1)$

$x=3$の前後で$f'(x)$の符号を考えると、$x<3$のとき、$f'(x)<0$、$x>3$のとき、$f'(x)>0$であるので、$x=3$で極小値をとることが確認できました。

同様に、$x=-1$では極大値をとることもわかります。

3. 最終的な答え

$a = -3$, $b = -9$