2次関数 $y = x^2 - 2ax$ （$0 \le x \le 2$）の最大値と最小値を、以下の$a$の範囲についてそれぞれ求めよ。 (1) $0 < a < 1$ (2) $a = 1$ (3) $1 < a < 2$ (4) $a = 2$ (5) $a > 2$

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2ax$ （$0 \le x \le 2$）の最大値と最小値を、以下の$a$の範囲についてそれぞれ求めよ。

(1) $0 < a < 1$

(2) $a = 1$

(3) $1 < a < 2$

(4) $a = 2$

(5) $a > 2$

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2ax = (x - a)^2 - a^2$

この2次関数の軸は $x = a$ です。定義域は $0 \le x \le 2$ です。

$a$ の値によって、軸の位置が定義域の中で変わるので、場合分けをして考えます。

(1) $0 < a < 1$ のとき、軸 $x = a$ は定義域 $0 \le x \le 2$ の中にあります。

最小値は $x = a$ のときで、 $y = -a^2$ です。

最大値は $x = 2$ のときで、 $y = 2^2 - 2a(2) = 4 - 4a$ です。

(2) $a = 1$ のとき、軸 $x = 1$ は定義域 $0 \le x \le 2$ の中にあります。

最小値は $x = 1$ のときで、 $y = -1^2 = -1$ です。

最大値は $x = 2$ のときで、 $y = 2^2 - 2(1)(2) = 4 - 4 = 0$ です。

(3) $1 < a < 2$ のとき、軸 $x = a$ は定義域 $0 \le x \le 2$ の中にあります。

最小値は $x = a$ のときで、 $y = -a^2$ です。

最大値は $x = 0$ のときで、 $y = 0^2 - 2a(0) = 0$ です。

(4) $a = 2$ のとき、軸 $x = 2$ は定義域 $0 \le x \le 2$ の端にあります。

最小値は $x = 2$ のときで、 $y = 2^2 - 2(2)(2) = 4 - 8 = -4$ です。

最大値は $x = 0$ のときで、 $y = 0^2 - 2(2)(0) = 0$ です。

(5) $a > 2$ のとき、軸 $x = a$ は定義域 $0 \le x \le 2$ の外にあります。

最小値は $x = 2$ のときで、 $y = 2^2 - 2a(2) = 4 - 4a$ です。

最大値は $x = 0$ のときで、 $y = 0^2 - 2a(0) = 0$ です。

3. 最終的な答え

(1) $0 < a < 1$ のとき、最大値 $4 - 4a$、最小値 $-a^2$

(2) $a = 1$ のとき、最大値 $0$、最小値 $-1$

(3) $1 < a < 2$ のとき、最大値 $0$、最小値 $-a^2$

(4) $a = 2$ のとき、最大値 $0$、最小値 $-4$

(5) $a > 2$ のとき、最大値 $0$、最小値 $4 - 4a$