フィボナッチ数列 $\{F_n\}$ が漸化式 $F_{k+2} = F_k + F_{k+1}$ （$F_1 = 1$, $F_2 = 1$）で定義されるとき、数列 $\{A_n\}$ が $A_n = F_{n+1} - \frac{1-\sqrt{5}}{2}F_n$ で定義される。このとき、漸化式 $A_{k+1} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}A_k$ が成り立つことを証明する。

1. 問題の内容

フィボナッチ数列 $\{F_n\}$ が漸化式 $F_{k+2} = F_k + F_{k+1}$ （$F_1 = 1$, $F_2 = 1$）で定義されるとき、数列 $\{A_n\}$ が $A_n = F_{n+1} - \frac{1-\sqrt{5}}{2}F_n$ で定義される。このとき、漸化式 $A_{k+1} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}A_k$ が成り立つことを証明する。

2. 解き方の手順

まず、$A_{k+1}$ を定義に従って書き下す。

$A_{k+1} = F_{k+2} - \frac{1-\sqrt{5}}{2}F_{k+1}$

フィボナッチ数列の漸化式 $F_{k+2} = F_k + F_{k+1}$ を用いて、$F_{k+2}$ を書き換える。

$A_{k+1} = F_k + F_{k+1} - \frac{1-\sqrt{5}}{2}F_{k+1}$

$F_{k+1}$ でくくる。

$A_{k+1} = F_k + (1 - \frac{1-\sqrt{5}}{2})F_{k+1}$

係数を計算する。

$A_{k+1} = F_k + \frac{1+\sqrt{5}}{2}F_{k+1}$

目標は、$A_{k+1} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}A_k$ を示すことである。$A_k = F_{k+1} - \frac{1-\sqrt{5}}{2}F_k$ より、$\frac{1+\sqrt{5}}{2}A_k$を計算する。

$\frac{1+\sqrt{5}}{2}A_k = \frac{1+\sqrt{5}}{2}(F_{k+1} - \frac{1-\sqrt{5}}{2}F_k)$

$\frac{1+\sqrt{5}}{2}A_k = \frac{1+\sqrt{5}}{2}F_{k+1} - \frac{1-5}{4}F_k$

$\frac{1+\sqrt{5}}{2}A_k = \frac{1+\sqrt{5}}{2}F_{k+1} + F_k$

これは、$A_{k+1}$ と等しい。したがって、

$A_{k+1} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}A_k$

が成り立つ。

3. 最終的な答え

漸化式 $A_{k+1} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}A_k$ が成り立つ。