問題は、ある数が小数で表されたとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める問題です。ここでは、(2)の$0.2^{20}$について考えます。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$とします。

1. 問題の内容

問題は、ある数が小数で表されたとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める問題です。ここでは、(2)の$0.2^{20}$について考えます。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$とします。

2. 解き方の手順

まず、$0.2^{20}$の常用対数を計算します。

$\log_{10}0.2^{20} = 20 \log_{10}0.2$

$0.2$は$\frac{2}{10}$と表せるので、

$\log_{10}0.2 = \log_{10}\frac{2}{10} = \log_{10}2 - \log_{10}10 = \log_{10}2 - 1$

$\log_{10}2 = 0.3010$なので、

$\log_{10}0.2 = 0.3010 - 1 = -0.6990$

したがって、

$\log_{10}0.2^{20} = 20 \times (-0.6990) = -13.98$

$-13.98$ は $-14 < -13.98 < -13$を満たします。

すなわち、$10^{-14} < 0.2^{20} < 10^{-13}$となります。

したがって、$0.2^{20}$は小数第14位に初めて0でない数字が現れます。

3. 最終的な答え

小数第14位