次の数列の一般項を求めよ。 6, 24, 60, 120, 210, 336, 504, ...

1. 問題の内容

次の数列の一般項を求めよ。

6, 24, 60, 120, 210, 336, 504, ...

2. 解き方の手順

数列 $\{a_n\}$ を $a_1 = 6, a_2 = 24, a_3 = 60, a_4 = 120, a_5 = 210, a_6 = 336, a_7 = 504, ...$ とする。

階差数列を求める。

$b_n = a_{n+1} - a_n$ とすると、

$b_1 = 24 - 6 = 18$

$b_2 = 60 - 24 = 36$

$b_3 = 120 - 60 = 60$

$b_4 = 210 - 120 = 90$

$b_5 = 336 - 210 = 126$

$b_6 = 504 - 336 = 168$

階差数列 $\{b_n\}$ は 18, 36, 60, 90, 126, 168, ... となる。

さらに階差数列 $\{c_n\}$ を求める。

$c_n = b_{n+1} - b_n$ とすると、

$c_1 = 36 - 18 = 18$

$c_2 = 60 - 36 = 24$

$c_3 = 90 - 60 = 30$

$c_4 = 126 - 90 = 36$

$c_5 = 168 - 126 = 42$

階差数列 $\{c_n\}$ は 18, 24, 30, 36, 42, ... となる。

さらに階差数列 $\{d_n\}$ を求める。

$d_n = c_{n+1} - c_n$ とすると、

$d_1 = 24 - 18 = 6$

$d_2 = 30 - 24 = 6$

$d_3 = 36 - 30 = 6$

$d_4 = 42 - 36 = 6$

階差数列 $\{d_n\}$ は 6, 6, 6, 6, ... となり、これは定数数列である。

数列 $\{a_n\}$ は3回の階差をとることで定数数列になるため、$a_n$ は $n$ の3次式で表される。

$a_n = An^3 + Bn^2 + Cn + D$ とおく。

$a_1 = A + B + C + D = 6$

$a_2 = 8A + 4B + 2C + D = 24$

$a_3 = 27A + 9B + 3C + D = 60$

$a_4 = 64A + 16B + 4C + D = 120$

上記を解くと、$A=1, B=3, C=2, D=0$ となる。

したがって、$a_n = n^3 + 3n^2 + 2n = n(n^2 + 3n + 2) = n(n+1)(n+2)$.

3. 最終的な答え

$a_n = n(n+1)(n+2)$