$\omega$を$x^3 = 1$の虚数解の一つとする。次の式の値を求める。 (1) $\omega^2 + \omega$ (2) $\omega^{10} + \omega^5$ (3) $(\omega^2 + 5\omega)^2 + (5\omega^2 + \omega)^2$

1. 問題の内容

$\omega$を$x^3 = 1$の虚数解の一つとする。次の式の値を求める。

(1) $\omega^2 + \omega$

(2) $\omega^{10} + \omega^5$

(3) $(\omega^2 + 5\omega)^2 + (5\omega^2 + \omega)^2$

2. 解き方の手順

まず、$x^3 = 1$を解く。

$x^3 - 1 = 0$

$(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0$

$x = 1, \frac{-1 \pm \sqrt{1-4}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

$\omega$は虚数解なので、$\omega = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$のどちらかである。

$\omega$は$x^2 + x + 1 = 0$の解でもあるので、

$\omega^2 + \omega + 1 = 0$

$\omega^2 + \omega = -1$

また、$\omega^3 = 1$である。

(1) $\omega^2 + \omega = -1$

(2) $\omega^{10} + \omega^5 = (\omega^3)^3 \omega + (\omega^3) \omega^2 = \omega + \omega^2 = -1$

(3) $(\omega^2 + 5\omega)^2 + (5\omega^2 + \omega)^2 = (\omega^4 + 10\omega^3 + 25\omega^2) + (25\omega^4 + 10\omega^3 + \omega^2)$

$= \omega^4 + 10\omega^3 + 25\omega^2 + 25\omega^4 + 10\omega^3 + \omega^2$

$= 26\omega^4 + 20\omega^3 + 26\omega^2$

$= 26\omega + 20 + 26\omega^2$

$= 26(\omega + \omega^2) + 20$

$= 26(-1) + 20$

$= -26 + 20 = -6$

3. 最終的な答え

(1) $-1$

(2) $-1$

(3) $-6$