実数 $a$ に対して、2つの直線 $$(a+2)x + (a+3)y = 10 \quad \cdots ①$$ $$6x + (2a-1)y = 5 \quad \cdots ②$$ がある。 (1) 直線①が $a$ の値にかかわらず通る定点の座標を求める。 (2) 直線①と②が平行であるときの $a$ の値を求める。 (3) 直線①と②が垂直であるときの $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

実数 $a$ に対して、2つの直線

$$(a+2)x + (a+3)y = 10 \quad \cdots ①$$

$$6x + (2a-1)y = 5 \quad \cdots ②$$

がある。

(1) 直線①が $a$ の値にかかわらず通る定点の座標を求める。

(2) 直線①と②が平行であるときの $a$ の値を求める。

(3) 直線①と②が垂直であるときの $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

直線①の式を $a$ について整理すると

$$a(x+y) + (2x+3y) = 10$$

$a$ の値に関わらずこの式が成り立つためには、

$$x+y = 0 \quad \cdots ③$$

$$2x+3y = 10 \quad \cdots ④$$

が同時に成り立つ必要がある。

③より $y = -x$ 。これを④に代入すると、

$$2x - 3x = 10$$

$$-x = 10$$

$$x = -10$$

よって $y = -x = 10$

したがって、求める定点の座標は $(-10, 10)$

(2)

直線①と②が平行であるとき、それらの法線ベクトルの方向が同じである。直線①の法線ベクトルは $\begin{pmatrix} a+2 \\ a+3 \end{pmatrix}$ であり、直線②の法線ベクトルは $\begin{pmatrix} 6 \\ 2a-1 \end{pmatrix}$ である。

よって、

$$(a+2)(2a-1) = 6(a+3)$$

$$2a^2 - a + 4a - 2 = 6a + 18$$

$$2a^2 + 3a - 2 = 6a + 18$$

$$2a^2 - 3a - 20 = 0$$

$$(2a+5)(a-4) = 0$$

$$a = -\frac{5}{2}, 4$$

$a = 4$ のとき、①は $6x+7y=10$ であり、②は $6x+7y=5$ である。この場合、2直線は平行である。

$a = -\frac{5}{2}$ のとき、①は $-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=10$, つまり $-x+y=20$ であり、②は $6x-6y=5$, つまり $6x-6y=5$ である。この場合も2直線は平行である。

したがって、$a = -\frac{5}{2}, 4$

(3)

直線①と②が垂直であるとき、それらの法線ベクトルは垂直である。つまり、法線ベクトルの内積が0になる。

$$(a+2) \cdot 6 + (a+3) \cdot (2a-1) = 0$$

$$6a+12 + 2a^2 - a + 6a - 3 = 0$$

$$2a^2 + 11a + 9 = 0$$

$$(2a+9)(a+1) = 0$$

$$a = -\frac{9}{2}, -1$$

3. 最終的な答え

(1) 定点の座標: $(-10, 10)$

(2) 平行であるときの $a$ の値: $a = -\frac{5}{2}, 4$

(3) 垂直であるときの $a$ の値: $a = -\frac{9}{2}, -1$