$n$ が2以上の自然数のとき、数学的帰納法を用いて以下の等式を証明する問題です。空欄を埋めて証明を完成させる必要があります。 $x^n - 1 = (x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + x + 1)$

1. 問題の内容

$n$ が2以上の自然数のとき、数学的帰納法を用いて以下の等式を証明する問題です。空欄を埋めて証明を完成させる必要があります。

$x^n - 1 = (x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + x + 1)$

2. 解き方の手順

(1) $n=2$ のとき、等式が成り立つことを示す。

左辺 $= x^2 - 1$

右辺 $= (x-1)(x+1) = x^2 - 1$

よって、$n=2$ のとき等式は成り立つ。

(2) $n=k$ のとき、等式が成り立つと仮定する。すなわち、

$x^k - 1 = (x-1)(x^{k-1} + x^{k-2} + \dots + x + 1)$

が成り立つと仮定する。

(3) $n=k+1$ のとき、等式が成り立つことを示す。

$x^{k+1} - 1 = (x-1)(x^k + x^{k-1} + \dots + x + 1)$

を示せば良い。

左辺 $= x^{k+1} - 1 = x \cdot x^k - 1$

ここで、$x^k = (x-1)(x^{k-1} + x^{k-2} + \dots + x + 1) + 1$ であるから、

$x^{k+1} - 1 = x \cdot [(x-1)(x^{k-1} + x^{k-2} + \dots + x + 1) + 1] - 1$

$= x(x-1)(x^{k-1} + x^{k-2} + \dots + x + 1) + x - 1$

$= (x-1)[x(x^{k-1} + x^{k-2} + \dots + x + 1) + 1]$

$= (x-1)[x^k + x^{k-1} + \dots + x^2 + x + 1]$

よって、$n=k+1$ のときも等式は成り立つ。

(1), (2), (3) より、数学的帰納法により、$n \ge 2$ のすべての自然数について、等式

$x^n - 1 = (x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + x + 1)$

は成り立つ。

3. 最終的な答え

空欄を埋める部分はありません。問題は与えられた等式を数学的帰納法で証明することです。上記の解答がその証明になっています。