数列 $\{a_n\}$ が与えられたとき、$n a_n = b_n$ と定義する。漸化式 $(n+1)a_{n+1} = na_n$ が成り立つとき、$a_n$ を求める問題である。$b_1 = 1 \cdot a_1 = 1$ である。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられたとき、$n a_n = b_n$ と定義する。漸化式 $(n+1)a_{n+1} = na_n$ が成り立つとき、$a_n$ を求める問題である。$b_1 = 1 \cdot a_1 = 1$ である。

2. 解き方の手順

まず、$na_n = b_n$ とおく。

与えられた漸化式 $(n+1)a_{n+1} = na_n$ より、$b_{n+1} = (n+1)a_{n+1} = na_n = b_n$ である。

したがって、$b_{n+1} = b_n$ となり、数列 $\{b_n\}$ は定数列であることがわかる。

$b_1 = 1 \cdot a_1 = 1$ より、$b_n = 1$ である。

$na_n = b_n = 1$ なので、$a_n = \frac{1}{n}$ となる。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{1}{n}$