与えられた行列によって定められる線形変換によって、4つのベクトル $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ が変換される。変換後のベクトルを求め、変換後のベクトルが示す4点が囲む図形の面積を計算する。線形変換を行う行列は以下の4つである。 (1) $\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$ (2) $\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ (3) $\begin{bmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$ (4) $\begin{bmatrix} \cos 60^\circ & -\sin 60^\circ \\ \sin 60^\circ & \cos 60^\circ \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列によって定められる線形変換によって、4つのベクトル $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ が変換される。変換後のベクトルを求め、変換後のベクトルが示す4点が囲む図形の面積を計算する。線形変換を行う行列は以下の4つである。

(1) $\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$

(2) $\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

(3) $\begin{bmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$

(4) $\begin{bmatrix} \cos 60^\circ & -\sin 60^\circ \\ \sin 60^\circ & \cos 60^\circ \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、4つのベクトルそれぞれに対して、与えられた行列との積を計算して、変換後のベクトルを求める。

次に、変換後の4つのベクトルによって囲まれる図形の面積を求める。元の4つのベクトルが囲む図形は、一辺の長さが1の正方形なので、面積は1である。線形変換によって、面積は行列の行列式 (determinant) の絶対値倍になる。

(1) 行列 $\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$

* 変換後のベクトル:

$\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 4 \end{bmatrix}$

* 行列式: $3 \times 4 - 0 \times 0 = 12$

* 面積: $1 \times |12| = 12$

(2) 行列 $\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

* 変換後のベクトル:

$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 7 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}$

* 行列式: $4 \times 4 - 2 \times 3 = 16 - 6 = 10$

* 面積: $1 \times |10| = 10$

(3) 行列 $\begin{bmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$

* 変換後のベクトル:

$\begin{bmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ -1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$

* 行列式: $-2 \times 4 - 3 \times (-1) = -8 + 3 = -5$

* 面積: $1 \times |-5| = 5$

(4) 行列 $\begin{bmatrix} \cos 60^\circ & -\sin 60^\circ \\ \sin 60^\circ & \cos 60^\circ \end{bmatrix}$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$

* 変換後のベクトル:

$\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1-\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}+1}{2} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}$

* 行列式: $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$

* 面積: $1 \times |1| = 1$

3. 最終的な答え

(1) 変換後のベクトルは $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 4 \end{bmatrix}$。面積は 12。

(2) 変換後のベクトルは $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 6 \\ 7 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}$。面積は 10。

(3) 変換後のベクトルは $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -2 \\ -1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$。面積は 5。

(4) 変換後のベクトルは $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} \frac{1-\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}+1}{2} \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}$。面積は 1。