2次関数 $y = 2x^2 - 4x + c$ (定義域: $-1 \le x \le 2$) の最大値が3となるように、定数 $c$ の値を定め、そのときの最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 - 4x + c$ (定義域: $-1 \le x \le 2$) の最大値が3となるように、定数 $c$ の値を定め、そのときの最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 - 4x + c = 2(x^2 - 2x) + c = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + c = 2(x - 1)^2 - 2 + c$

したがって、

$y = 2(x - 1)^2 + c - 2$

この関数のグラフは、頂点が $(1, c - 2)$ の下に凸の放物線です。定義域は $-1 \le x \le 2$ です。

軸 $x=1$ は定義域に含まれています。定義域の端点 $x = -1$ と $x = 2$ における $y$ の値を計算します。

$x = -1$ のとき、

$y = 2(-1 - 1)^2 + c - 2 = 2(-2)^2 + c - 2 = 8 + c - 2 = c + 6$

$x = 2$ のとき、

$y = 2(2 - 1)^2 + c - 2 = 2(1)^2 + c - 2 = 2 + c - 2 = c$

$c+6 > c$なので、区間 $-1 \le x \le 2$ における最大値は $x = -1$ のときの $y$ の値である $c+6$ です。

問題文より、最大値が3なので、

$c + 6 = 3$

$c = -3$

次に、最小値を求めます。

頂点の $x$ 座標 $x = 1$ は定義域に含まれており、このとき $y = c - 2$ です。

$c = -3$ を代入すると、$y = -3 - 2 = -5$ となります。

したがって、最小値は -5 です。

3. 最終的な答え

$c = -3$

最小値: -5