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$T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ という線形変換があり、これは直線 $y=x$ の方向に2倍する変換です。この変換を表す2次正方行列を求めます。

代数学線形代数線形変換行列固有ベクトル基底変換
2025/6/29

1. 問題の内容

T:R2→R2T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 という線形変換があり、これは直線 y=xy=x の方向に2倍する変換です。この変換を表す2次正方行列を求めます。

2. 解き方の手順

線形変換を表す行列を求めるには、基本ベクトル [10]\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} と [01]\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} がそれぞれどのように変換されるかを知る必要があります。
しかし、今回は直線y=xy = x方向へのスケーリングなので、都合の良い2つのベクトルを選んで、変換後のベクトルを求めて線形性を使って解きます。
直線 y=xy=x 上のベクトル [11]\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} は y=xy=x 方向のベクトルです。
このベクトルは2倍されるので、
T([11])=2[11]=[22]T\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right) = 2 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}
となります。
y=−xy=-x 上のベクトル [1−1]\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} は y=xy=x と直交する方向のベクトルであり、この方向には変化がないので、
T([1−1])=[1−1]T\left(\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}
となります。
ここで、[10]\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} と [01]\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} を [11]\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} と [1−1]\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} の線形結合で表します。
[10]=12[11]+12[1−1]\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}
[01]=12[11]−12[1−1]\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} - \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}
したがって、
T([10])=12T([11])+12T([1−1])=12[22]+12[1−1]=[3/21/2]T\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right) = \frac{1}{2} T\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right) + \frac{1}{2} T\left(\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\right) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix} + \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3/2 \\ 1/2 \end{bmatrix}
T([01])=12T([11])−12T([1−1])=12[22]−12[1−1]=[1/23/2]T\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right) = \frac{1}{2} T\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right) - \frac{1}{2} T\left(\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\right) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix} - \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 \\ 3/2 \end{bmatrix}
よって、求める行列は [3/21/21/23/2]\begin{bmatrix} 3/2 & 1/2 \\ 1/2 & 3/2 \end{bmatrix} となります。

3. 最終的な答え

[3/21/21/23/2]\begin{bmatrix} 3/2 & 1/2 \\ 1/2 & 3/2 \end{bmatrix}

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