等差数列 $3, \frac{12}{5}, \frac{9}{5}, \frac{6}{5}, \dots$ の一般項を求め、初項から第10項までの和を求める。

1. 問題の内容

等差数列 $3, \frac{12}{5}, \frac{9}{5}, \frac{6}{5}, \dots$ の一般項を求め、初項から第10項までの和を求める。

2. 解き方の手順

まず、数列の初項 $a$ と公差 $d$ を求める。

初項は $a = 3$ である。

公差は $d = \frac{12}{5} - 3 = \frac{12}{5} - \frac{15}{5} = -\frac{3}{5}$ である。

一般項 $a_n$ は、等差数列の一般項の公式 $a_n = a + (n-1)d$ を用いて求める。

$a_n = 3 + (n-1)(-\frac{3}{5}) = 3 - \frac{3}{5}(n-1) = 3 - \frac{3}{5}n + \frac{3}{5} = \frac{15}{5} + \frac{3}{5} - \frac{3}{5}n = \frac{18}{5} - \frac{3}{5}n$

初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、等差数列の和の公式 $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ を用いて求める。

$S_{10} = \frac{10}{2}(2(3) + (10-1)(-\frac{3}{5})) = 5(6 + 9(-\frac{3}{5})) = 5(6 - \frac{27}{5}) = 5(\frac{30}{5} - \frac{27}{5}) = 5(\frac{3}{5}) = 3$

3. 最終的な答え

一般項: $a_n = \frac{18}{5} - \frac{3}{5}n$

初項から第10項までの和: $S_{10} = 3$