$(x^2 + \frac{2}{x})^9$ を展開したときの定数項を求める。

1. 問題の内容

$(x^2 + \frac{2}{x})^9$ を展開したときの定数項を求める。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて $(x^2 + \frac{2}{x})^9$ を展開したときの一般項を求める。一般項において $x$ の指数が $0$ となるような項が定数項である。

二項定理より、$(x^2 + \frac{2}{x})^9$ の展開における一般項は、

$${}_9 C_r (x^2)^{9-r} (\frac{2}{x})^r = {}_9 C_r x^{2(9-r)} 2^r x^{-r} = {}_9 C_r 2^r x^{18-2r-r} = {}_9 C_r 2^r x^{18-3r}$$

ここで、$r$ は $0 \le r \le 9$ の整数である。

定数項となるためには、$x$ の指数が $0$ である必要がある。

したがって、$18-3r = 0$ を解くと、$3r=18$ より $r=6$ となる。

このとき、一般項は

$${}_9 C_6 2^6 x^0 = {}_9 C_6 2^6 = {}_9 C_3 2^6 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \times 64 = 84 \times 64 = 5376$$

したがって、定数項は $5376$ である。

3. 最終的な答え

5376