数列 $a_n$ が与えられており、$a_n = 3^n \{3 - 2(\frac{2}{3})^{n-1} \}$ である。この式を簡略化して $3^{n+1} - 3 \cdot 2^n$ となることを示す問題です。

1. 問題の内容

数列 $a_n$ が与えられており、$a_n = 3^n \{3 - 2(\frac{2}{3})^{n-1} \}$ である。この式を簡略化して $3^{n+1} - 3 \cdot 2^n$ となることを示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a_n$ の式を展開します。

$a_n = 3^n \{3 - 2(\frac{2}{3})^{n-1} \}$

$a_n = 3^n \cdot 3 - 3^n \cdot 2 (\frac{2}{3})^{n-1}$

$a_n = 3^{n+1} - 2 \cdot 3^n \cdot \frac{2^{n-1}}{3^{n-1}}$

$a_n = 3^{n+1} - 2 \cdot 3^{n-(n-1)} \cdot 2^{n-1}$

$a_n = 3^{n+1} - 2 \cdot 3^1 \cdot 2^{n-1}$

$a_n = 3^{n+1} - 2 \cdot 3 \cdot 2^{n-1}$

$a_n = 3^{n+1} - 3 \cdot 2 \cdot 2^{n-1}$

$a_n = 3^{n+1} - 3 \cdot 2^{1+(n-1)}$

$a_n = 3^{n+1} - 3 \cdot 2^n$

3. 最終的な答え

したがって、$a_n = 3^{n+1} - 3 \cdot 2^n$ が得られます。