$a = 3 + \sqrt{5}$ のとき、以下の2つの式の値を求める問題です。 (1) $a^2 - 6a + 9$ (2) $a^2 - 4a + 3$

1. 問題の内容

$a = 3 + \sqrt{5}$ のとき、以下の2つの式の値を求める問題です。

(1) $a^2 - 6a + 9$

(2) $a^2 - 4a + 3$

2. 解き方の手順

(1) $a^2 - 6a + 9$ について

まず、$a^2 - 6a + 9$ を因数分解します。

$a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2$

次に、$a = 3 + \sqrt{5}$ を代入します。

$(a - 3)^2 = (3 + \sqrt{5} - 3)^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$

(2) $a^2 - 4a + 3$ について

$a = 3 + \sqrt{5}$ を直接代入して計算することも可能ですが、少し工夫します。

$a - 3 = \sqrt{5}$

両辺を2乗すると、

$(a - 3)^2 = (\sqrt{5})^2$

$a^2 - 6a + 9 = 5$

$a^2 - 6a + 4 = 0$

求める式は $a^2 - 4a + 3$ です。

$a^2 - 4a + 3 = (a^2 - 6a + 4) + 2a - 1$

$= 0 + 2(3 + \sqrt{5}) - 1 = 6 + 2\sqrt{5} - 1 = 5 + 2\sqrt{5}$

または、$a^2 - 4a + 3$ に$a = 3 + \sqrt{5}$を代入すると

$a^2 - 4a + 3 = (3 + \sqrt{5})^2 - 4(3 + \sqrt{5}) + 3$

$= 9 + 6\sqrt{5} + 5 - 12 - 4\sqrt{5} + 3$

$= (9 + 5 - 12 + 3) + (6\sqrt{5} - 4\sqrt{5})$

$= 5 + 2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) 5

(2) $5 + 2\sqrt{5}$